Question

原函数存在和可积的区别

Answer 1

“可积”和“原函数存在”有以下几个区别：

1、这里的“可积”指的是“Riemann可积”,也就是可求定积分.而 f 存在“原函数”,是指的"存在 F,使处处有 F’(x) = f(x).“定积分必须在闭区间 [a,b] 上讨论,而原函数可在任意区间上讨论.

关于Riemann可积函数,常见的有如下三个可积函数类：连续函数；有界且只有有限个第一类间断点（即跳跃间断点）的函数；单调函数.也就是说不止连续函数是可积的.而 f 的积分上限函数F(x) = ∫[a,x]f(t)dt,在 f 连续的点是可导的,因此当 f 在闭区间[a,b]上连续时,F(x)是 f(x) 的原函数.

2、不可积的函数一定没有原函数,没有原函数的不一定不可积。

可积和原函数存在完全两个概念。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。

3、可积的必要条件：函数f在[a，b]有界，则函数在[a,b]上必定有界；

4、可积的充分条件：1)函数在[a,b]区间上连续，则在该区间上可积；2)若f在区间[a,b]上有有限个间断点的有界，则函数可积。3)若f在区间[a,b]上单调，则在该区间可积。4)如果f（x）在【a,b】上的定积分存在，我们就说f（x）在【a,b】上可积。