欧几里得算法求最大公约数

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箕倩0J7
2022-12-01 · 超过83用户采纳过TA的回答
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欧几里得算法求最大公约数方法如下:



欧几里德算法又称辗转相除法,是指用于计算两个正整数a,b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。欧几里得算法在RSA加密算法中有运用。



算法分析:算法通过连续计算余数,知道余数是0为止,最后所得的非0余数就是最大公因数。例如 M=1989 ,N=1590,则余数序列为399,393,6,3,0。

因而,Gcd(1989,1590)=3,从余数的序列可知,这是一个快速收敛的算法。要想得出该算法的运行时间,就需要确定余数序列究竟有多长。

不妨大胆的猜测log(N)看似是非常理想的答案,但是余数序列递减的规律并非是按照常数因子所递减的,事实上,数学家们已经证明了,在两次迭代以后,余数的值最多是原始值的一半。由此可知,迭代次数之多是2log(N) = O(logN)从而得到算法的时间复杂度。下面,我们从数学家那里问来了证明过程。



时间复杂度证明定理:如果 M > N ,则 M mod N < M/2
证明:如果 N<=M/2 ,则余数小于N,故定理在这种情况下成立。如果 N>M/2 ,此时M仅含有一个N,从而余数为M-N。事实上,欧几里得算法的平均时间复杂度是需要大量的数学分析进行证明的,算法迭代的平均次数是(12ln2lnN)/pi^2+1.47。

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