什么是可逆线性变换?
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可逆线性变换亦称非退化线性变换,或满秩线性变换,是一种特殊的线性变换,设V是数域P上的线性空间,σ是V的线性变换,若存在V的变换τ,使στ=τσ=I,其中I为单位变换,则σ称为可逆线性变换,τ称为σ的逆变换,V上的可逆线性变换σ的逆变换仍为V的线性变换,且是惟一的,记为σ。
因为|A| = 1≠0,故A可逆.而f不是可逆线性变换所以B不可逆.所以|B| = 0即|B| = a = 0。
逆变换我用S表示:S(1)=1,S(1+x)=x,S(1+x+x^2)=x^2,即S(1)=1,S(x)=S(1+x)--S(1)=x--1,S(x^2)=S(1+x+x^2)--S(1)--S(x)=x^2--1--(x--1)=x^2--x。
可逆线性变换中的可逆说明这个线性变换是一个一一映射。
可逆变换可以在很大程度上保留原有的信息比如二次型X^TAX,用X=CY可以得到Y^T(C^TAC)Y,研究完C^TAC的性质之后。
还可以通过Y=C^{-1}X再变回去分析原问题的性质如果随意用不可逆变换,那么取C=0就行了,所有标准型都是0,没有任何价值如果不可逆的话(例如零矩阵变换),无法保证变换成标准型(此时即使变换成标准型,也不能保证唯一。)。
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