Question

如何证明线线平行或面面平行

Answer 1

线线平行→线面平行 ：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行 ：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行 ：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直 ：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行 ：如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直 ：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

扩展资料：

如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）

证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。

定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。

两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）

已知：α∥β，l⊥α。求证：l⊥β

证明：先证明l与β有交点。若l∥β

∵l⊥α

∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。

设l∩α=A，l∩β=B

在α内，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A

因此a与l确定一个平面。明显，由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。

设与β的交线为b，由定理2可知a∥b

∵l⊥α，a⊂α

∴l⊥a

∴l⊥b

再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l⊥d

明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d，由于a∥b，c∥d，可推出a∥c，但a和c都是经过点A作出来的，这样就产生了矛盾

∵l与β内相交直线b、d都垂直

∴l⊥β

经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

已知：P是平面α外一点

求证：过P有且只有一个平面β∥α

证明：

先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b，过P分别作a'∥a，b‘∥b，则a’和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α

再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l⊥β1且l⊥β2。

再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。

两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。

参考资料：百度百科——面面平行