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二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
二阶常系数非齐次线性微分方程特解如下:
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x),其特解y*设法分为:
1、如果f(x)=P(x),Pn(x)为n阶多项式。
2、如果f(x)=P(x)e^αx,Pn(x)为n阶多项式。
特解y*设法
1、如果f(x)=P(x),Pn(x)为n阶多项式。
若0不是特征值,在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中,k=0,λ=0;因为Qm(x)与Pn(x)为同次的多项式,所以Qm(x)设法要根据Pn(x)的情况而定。
比如如果Pn(x)=a(a为常数),则设Qm(x)=A(A为另一个未知常数);如果Pn(x)=x,则设Qm(x)=ax+b;如果Pn(x)=x^2,则设Qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特征方程的单根,在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中,k=1,λ=0,即y*=x*Qm(x)。
若0是特征方程的重根,在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中,k=2,λ=0,即y*=x^2*Qm(x)。
2、如果f(x)=P(x)e^αx,Pn(x)为n阶多项式。
若α不是特征值,在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中,k=0,即y*=Qm(x)*e^αx,Qm(x)设法要根据Pn(x)的情况而定。
若α是特征方程的单根,在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中,k=1,即y*=x*Qm(x)*e^αx。
若α是特征方程的重根,在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中,k=2,即y*=x^2*Qm(x)*e^αx。
3、如果f(x)=e^αx,Pl(x)为l阶多项式,Pn(x)为n阶多项式。
若α±iβ不是特征值,在令特解y*=x^k*e^αx中,k=0,m=max{l,n},Rm1(x)与Rm2(x)设法要根据Pl(x)或Pn(x)的情况而定(同Qm(x)设法要根据Pn(x)的情况而定的原理一样)。
即y*=e^αx
若α±iβ不是特征值,在令特解y*=x^k*e^αx中,k=1,即y*=x*e^αx。