Question

立体几何常用证明定理高中的。

Answer 1

有六种：

1.定义法。

2.垂面法。

3.射影定理。

4.三垂线定理。

5.向量法。

6.转化法。

扩展资料：

三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。

1、三垂线定理描述的是PO(斜线)，AO(射影)，a(直线)之间的垂直关系。

2、a与PO可以相交，也可以异面。

3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。

关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂，二射，三证。即几何模型

第一，找平面(基准面)及平面垂线；

第二，找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线；

第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。

1.定理中四条线均针对同一平面而言；

2.应用定理关键是找"基准面"这个参照系。

 

用向量证明三垂线定理。

1.已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直OA，求证：b垂直PA

证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为OA垂直b向量PA=（向量PO+向量OA）

所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO乘以b）加（向量OA乘以b）=O，

所以PA垂直b。

2.已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直PA，求证：b垂直OA

证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为PA垂直b，向量OA=（向量PA-向量PO）

所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA乘以b）减（向量PO乘以b）=0，

所以OA垂直b。

3.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交线OA于平面OBC所成的角。

向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30度。