Question

如果自然数x i 满足x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ，求x 5 的最大值．

Answer 1

∵自然数x _i 满足x ₁ +x ₂ +x ₃ +x ₄ +x ₅ =x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ ，
∴x ₁ ，x ₂ ，x ₃ ，x ₄ ，x ₅ 都是正整数，
不妨设1≤x ₁ ≤x ₂ ≤x ₃ ≤x ₄ ≤x ₅ ，
若除了x ₅ 其他全是1，
∴4+x ₅ =x ₅ ，∴不可；
∴至少有2个数大于等于2，
若只有2个数大于等于2，则3+x ₄ +x ₅ =x ₄ x ₅ ，
即（x ₄ -1）（x ₅ -1）=4，
∴x ₅ =5，x ₄ =2（舍去）或x ₅ =3，x ₄ =3，
∴至少有3个数大于等于2，
若3个数大于等于2中有2个等于2，则1+1+2+2+x ₅ =4x ₅ ，
∴x ₅ =2，∴不可；
∴至少有3个数大于等于2，3个数大于等于2中只有1个等于2，那么至少还有一个大于等于3，
若x ₅ ≥6，
∴x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ ≥1×1×2×3×6≥36，
∴x ₁ +x ₂ +x ₃ +x ₄ +x ₅ ≤5×6=30，矛盾，
∴x ₅ ≤5，其次x ₁ =1，x ₂ =1，x ₃ =1，x ₄ =2，x ₅ =5，成立．
∴x ₅ 的最大值为5．