Question

不定方程x1+x2+x3=100的正整数解共有几组?那非负整数解有多少组?

Answer 1

设想100个小球排成一列,形成99个空位.
从中挑选2个空位放入挡板,将队列分成3段.
取x1为第一段的球数,x2为第二段的球数,x3为第三段的球数,
则得到x1+x2+x3 = 100的一组正整数解.
易见这给出了挡板的放法与x1+x2+x3 = 100正整数解的一一对应.
而99个空位选2的方法有C(99,2) = 4851种,
因此x1+x2+x3 = 100的正整数解有4851组.
对x1+x2+x3 = 100的任意一组非负整数解,
取y1 = x1+1,y2 = x2+1,y3 = x3+1.
则得到y1+y2+y3 = 103的一组正整数解.
易见这给出了x1+x2+x3 = 100非负整数解与y1+y2+y3 = 103正整数解的一一对应.
使用前面的方法可知后者有C(102,2) = 5151组.
因此x1+x2+x3 = 100的非负整数解也有5151组.