Question

设f（x）连续，且limx→0f(x)x=1，求极限：limx→0[1+∫10f(x2t)dt]cotxln(1+x)．

Answer 1

解题思路：由已知条件=1可得，当x→0时，f（x）与x为等价无穷小量；然后利用等价无穷小代换的方法计算极限值．

由已知条件
lim
x→0
f(x)
x=1可得，当x→0时，f（x）～x，
因为：
∫10f(x2t)dt

u＝x2t
.

∫x20f(u)
du
x2=[1
x2
∫ x20f(u)du，
又因为当x→0时，有ln（1+x）～x，tanx～x，
故：

lim
x→0[1+
∫10f(x2t)dt]
cotx
ln(1+x)=
lim
x→0[1+
1
x2
∫ x20f(u)du]
1
ln(1+x)tanx
=
lim
x→0[1+
1
x2
∫ x20udu]
1
x2
=
lim
x→0[1+
x2/2]
2
x2•
1
2]
=e
1
2．

点评：
本题考点： 求函数极限；等价无穷小代换定理及其应用；定积分的换元积分法．

考点点评： 本题综合考查了函数极限的计算、等价无穷小的概念、等价无穷小定理及应用以及换元积分法，题目综合性较强．