级数1/（n^2·(n+1)^2）求和？
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sum_1^infty 1/(n^2*(n+1)^2)
=sum_1^infty (1/n-1/(n+1))^2
=sum_1^infty 1/n^2+1/(n+1)^2-2*(1/n-1/(n+1))
=sum_1^infty(2/n^2)-1-2*sum_1^infty(1/n-1/(n+1))
左边这个级数是1/n^2,可以用Fourier级数对f(x)=|x|展开在0点处求得等于π^2/6
右边这个级数是1/n/(n+1),后面的项会全消掉,等于1
所以最后=π^2/3-3,4,
=sum_1^infty (1/n-1/(n+1))^2
=sum_1^infty 1/n^2+1/(n+1)^2-2*(1/n-1/(n+1))
=sum_1^infty(2/n^2)-1-2*sum_1^infty(1/n-1/(n+1))
左边这个级数是1/n^2,可以用Fourier级数对f(x)=|x|展开在0点处求得等于π^2/6
右边这个级数是1/n/(n+1),后面的项会全消掉,等于1
所以最后=π^2/3-3,4,
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2024-10-13 广告
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