Question

设z=z(x,y)是由方程ax+by+cz=F(x^2+y^2+z^2)所确定的函数,求证:(cy-bz)z'...x+？

Answer 1

ax+by+cz=F(x^2+y^2+z^2)
两边对x求导得：a+c∂z/∂x=F‘(x^2+y^2+z^2)(2x+2z∂z/∂x)
∂z/∂x= [F‘(x^2+y^2+z^2)(2x)-a]/(c-F‘(x^2+y^2+z^2)(2z))
两边对y求导得：b+c∂z/∂y=F‘(x^2+y^2+z^2)(2y+2z∂z/∂y)
∂z/∂x= [F‘(x^2+y^2+z^2)(2y)-b]/(c-F‘(x^2+y^2+z^2)(2z))
所以：(cy-bz)∂z/∂x+(az-cx)∂z/∂y
=(cy-bz)[F‘(x^2+y^2+z^2)(2x)-a]/(c-F‘(x^2+y^2+z^2)(2z))
+(az-cx)[F‘(x^2+y^2+z^2)(2y)-b]/(c-F‘(x^2+y^2+z^2)(2z))
={(-cya+baz)+(-baz+bcx)+2(cxy-bxz+ayz-cxy)[F‘(x^2+y^2+z^2)(2y)]}/(c-F‘(x^2+y^2+z^2)(2z))
={c(bx-ay)-2z(bx-ay))[F‘(x^2+y^2+z^2)(2y)]}/(c-F‘(x^2+y^2+z^2)(2z))
=bx-ay,2,设z=z(x,y)是由方程ax+by+cz=F(x^2+y^2+z^2)所确定的函数,求证:(cy-bz)z'...x+(az-cx)z'...y=bx-ay,其中
设z=z(x,y)是由方程ax+by+cz=F(x^2+y^2+z^2)所确定的函数,求证:
(cy-bz)z'...x+(az-cx)z'...y=bx-ay,其中z'...x,z'...y分别表示z(x,y)
关于x,y的偏导数.