Question

相似对角阵的特征值一定是特征向量吗？

Answer 1

你的这一结论没有依据。
例如3阶矩阵A
1 0 0
0 2 1
0 0 2
显然A的特征值为1，2，2
但是你能告诉我，它能相似对角矩阵吗？

答案是，这个矩阵不能相似对角阵。

这里简单说明一下，根据相似的定义，
P-1AP = diag(λ1，λ2，...，λn）
那么AP = P diag(λ1，λ2，...，λn）
因为P可逆，设P=(α1，α2，...，αn)，如果αi是A的特征向量。
那么上面相似的定义就是
A(α1，α2，...，αn) = (λ1α1，λ2α2，...，λnαn)
= (α1，α2，...，αn)diag(λ1，λ2，...，λn）

这也就说明了我们求相似矩阵中的P，其过程是求解A的特征向量了。
也说明了为什么相似对角阵的元素是A的特征值了。
正是由于上面的定义造成的。
也就是说只有当P的列向量是A的特征向量时，上述相似对角阵定义才成立。
因为要求P可逆，所以P的n个列向量必须线性无关。也就是A的特征向量必然线性无关。
否则P不可逆，则相似定义不成立，当然也就不可以相似对角阵了。

newmanhero 2015年5月24日22:32:58

希望对你有所帮助，望采纳。