Question

如何求积分∫(sinx/ x) dx

Answer 1

解:此积分看似简单,实际上却是一个不可能用初等函数表示的积分.也就是说,用初等手段是积不出来的,你也不要再去浪费精力.唯一的解决办法就是把sinx展成
无穷级数,然后逐项积分,其结果当然还是一个无穷级数.
∫(sinx/x)dx=∫(1/x)(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+....)dx
=∫(1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+......)dx
=x-x^3/3(3!)+x^5/5(5!)-x^7/7(7!)+......+c

注意：
如果S
xsinxdx就可以用分部积分法了。

Answer 2

这是一个没有原函数的积分，需要使用其他方法进行求解。
一种方法是使用级数展开。将 sin(x) 展开成其幂级数形式：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
将其代入被积函数中得到：
(sin(x)/x) = 1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ...
现在可以对该级数进行积分：
∫(sin(x)/x) dx = ∫(1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ...) dx
= x - x^3/(3×3!) + x^5/(5×5!) - x^7/(7×7!) + ...
因为该级数是无穷级数，所以需要进行收敛性分析，即判断级数的和是否存在。根据比值测试（或根值测试）可知，该级数的和在实数范围内是收敛的。因此该级数的和可以近似计算。
因此，通解为：
∫(sin(x)/x) dx = C + x - x^3/(3×3!) + x^5/(5×5!) - x^7/(7×7!) + ...
其中 C 为常数。