Question

设n阶矩阵A，B满足A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B.证明：AB=O.

Answer 1

【答案】：证 由题设条件(A+B)²=A+B，得
A²+AB+BA+B²=A+B
又已知A²=A，B²=B，故得
AB+BA=O (2-14)
用A左乘(2-14)式两端，并利用A²=A，得
AB+ABA=O (2-15)
用A右乘(2-14)式两端，并利用A²=A，得
ABA+BA=O (2-16)
(2-15)式与(2-16)式两式相减，得
AB=BA (2-17)
将(2-17)式代入(2-14)式，便得
AB=O注意由于矩阵乘法不满足交换律，故在还不知道AB=BA成立时，不能把(A+B)²写成A²+2AB+B².