Question

A,B为n阶矩阵,为什么R(A)>=R(-BA)？

Answer 1

对于矩阵A和B，我们有以下性质：

1. 对于任意的非零向量x，有Ax=0当且仅当Bx=0。这是因为如果Ax=0，则x属于A的零空间，而如果x属于A的零空间，则ABx=0，从而Bx也属于A的零空间。因此，A和B的零空间相同。

2. 对于任意的矩阵C和D，有R(C)+R(D)-n <= R(CD)。这是矩阵秩的一个基本性质，称为秩-维定理。

基于上述性质，我们有：

R(A)+R(-BA)-n <= R(A(-B)) = R(-(AB)) = R(AB)
由于AB和BA具有相同的秩，即R(AB)=R(BA)，因此：

R(A)+R(-BA)-n <= R(BA)

移项得到：
R(A) <= R(BA)+n-R(-BA)

根据上述性质1，A和B的零空间相同，因此B的列空间是A的列空间的子空间。
因此，R(BA)<=R(A)，从而：
R(A) <= R(A)+n-R(-BA)

化简得到：
R(-BA) <= n

因此，我们有：
R(A)+R(-BA)-n <= R(BA) <= R(A)

因此，我们可以得出结论：R(A)>=R(-BA)。