初二年级数学上册期末试题
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一、选择题(每题4分)
1.下列四个图案中是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列运算中，计算结果正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. < D. > >
4.如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
5.下列各组长度的线段能构成三角形的是( )
A.1.5 cm，3.9 cm，2.3 cm B.3.5 cm，7.1 cm，3.6 cm
C.6 cm，1 cm，6 cm D.4 cm，10 cm，4 cm
6.如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP;② ;③BP垂直平分CE;④FP=FC;其中正确的判断有( )
A.只有①② B.只有③④ C.只有①③④ D.①②③④
7.在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，添加下列条件后，不能判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A.BC=EF B.∠B=∠E C.∠C=∠F D.AC=DF
8.如果 ，那么 的值是( )
A. B. C. D.
9.如果把分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( ).
A.不变 B.扩大2倍 C.扩大4倍 D.缩小2倍
10.甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是( )
A. B. C. D.
11.古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方数”. 从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是( )
A.20=6+14 B.25=9+16 C.36=16+20 D.49=21+28
12.如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点(其中P、Q不与端点重合)，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论：⑴BP=CM;⑵△ABQ≌△CAP;⑶∠CMQ的度数始终等于60°;⑷当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每题4分)
13.在直角三角形中，一个锐角是50 °，则另一个锐角是 °.
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D。若BD=10cm，BC=8cm，则点D到直线AB的距离是_____________cm。
15.如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2-y2的值是 。
16.观察下列各等式： ， ， ，…，根据你发现的规律计算： =__________(n为正整数).
17.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(0,0)、(20,0)、(20,10)，在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为最小值时，点M的坐标是 .
18.使分式 的值等于0，则 的值是_ __.
三、计算题(每题7分)
19.计算：( ﹣ )÷
20.解方程： .
四、解答题(21-24每题10分，25-26每题12分)
21.先化简，再求值： ，其中 .
22.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时，求∠DEF的度数;
23.如图所示，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，若AB=17，BD=12，
(1)求证：△BCD≌△ACE;
(2)求DE的长度.
24.如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上.
(1)利用尺规按要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法).
①作∠CBD的平分线;
②作BC边的中垂线交BC边于点E，连接AE并延长交∠CBD的平分线于点F.
(2)由(1)得：BF与边AC的位置关系是 .
25.某公司拟为贫困山区建一所希望小学，甲、乙两个工程队提交了投标方案，若独立完成该项目，则甲工程队所用时间是乙工程队的1.5倍;若甲、乙两队合作完成该项目，则共需72天.
(1)甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天?
(2)若由甲工程队单独施工，平均每天的费用为0.8万元，为了缩短工期，该公司选择了乙工程队，但要求其施工的总费用不能超过甲工程队，求乙工程队平均每天的施工费用最多为多少万元?
26. 1.问题情境：将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由.
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线.(依据1)
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON.(依据2)
反思交流：
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ;
依据2： .
(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.
拓展延伸：
(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程.
参考答案
1.C.
2.D.
3.A.
4.B
5.C
6.D.
7.A.
8.B.
9.A.
10.D.
11.D
12.A.
13.40°.
14.6cm
15.-32.
16. .
17.(12，6).
18.6.
19.x﹣1
20. ，
21.-3.
22.(1)∵AB=AC
∴∠B=∠C
又BE=CF，BD=CE
∴
∴DE=FE
∴△DEF是等腰三角形
(2)∵
∴∠BDE=∠CEF
∵∠A=40°
∴∠B =∠C =70°
∴∠BDE+∠BED=110°
∴∠CEF+∠BED=110°
∴ .
23.(1)证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC.
∵∠ACE=∠DCE﹣∠DCA，∠BCD=∠ACB﹣∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中 ，
∴△ACE≌△BCD(SAS);
(2)13.
24.BF与边AC的位置关系是 平行
25.(1)甲单独完成建校工程需180天，乙单独完成建校工程需120天;
(2) 乙工程队平均每天的施工费用最多1.2万元.
26. (1)解：故答案为：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角的两边距离相等.
(2)证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB.
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
，
∴△OMA≌△ONB(AAS)，
∴OM=ON.
(3)解：OM=ON，OM⊥ON.理由如下：
连接OC，
∵∠ACB=∠DNB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BND，
∴ = ，
∵AC=BC，
∴DN=NB.
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°=∠DNC，
∴MC∥DN，
又∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°，
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∵∠B=45°，∠DNB=90°，
∴∠3=∠B=45°，
∴DN=NB，
∴MC=NB，
∵∠ACB=90°，O为AB中点，AC=BC，
∴∠1=∠2=45°=∠B，OC=OB(斜边中线等于斜边一半)，
在△MOC和△NOB中
∴△MOC≌△NOB(SAS)，
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON.
1.下列四个图案中是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列运算中，计算结果正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. < D. > >
4.如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
5.下列各组长度的线段能构成三角形的是( )
A.1.5 cm，3.9 cm，2.3 cm B.3.5 cm，7.1 cm，3.6 cm
C.6 cm，1 cm，6 cm D.4 cm，10 cm，4 cm
6.如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP;② ;③BP垂直平分CE;④FP=FC;其中正确的判断有( )
A.只有①② B.只有③④ C.只有①③④ D.①②③④
7.在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，添加下列条件后，不能判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A.BC=EF B.∠B=∠E C.∠C=∠F D.AC=DF
8.如果 ，那么 的值是( )
A. B. C. D.
9.如果把分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( ).
A.不变 B.扩大2倍 C.扩大4倍 D.缩小2倍
10.甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是( )
A. B. C. D.
11.古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方数”. 从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是( )
A.20=6+14 B.25=9+16 C.36=16+20 D.49=21+28
12.如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点(其中P、Q不与端点重合)，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论：⑴BP=CM;⑵△ABQ≌△CAP;⑶∠CMQ的度数始终等于60°;⑷当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每题4分)
13.在直角三角形中，一个锐角是50 °，则另一个锐角是 °.
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D。若BD=10cm，BC=8cm，则点D到直线AB的距离是_____________cm。
15.如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2-y2的值是 。
16.观察下列各等式： ， ， ，…，根据你发现的规律计算： =__________(n为正整数).
17.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(0,0)、(20,0)、(20,10)，在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为最小值时，点M的坐标是 .
18.使分式 的值等于0，则 的值是_ __.
三、计算题(每题7分)
19.计算：( ﹣ )÷
20.解方程： .
四、解答题(21-24每题10分，25-26每题12分)
21.先化简，再求值： ，其中 .
22.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时，求∠DEF的度数;
23.如图所示，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，若AB=17，BD=12，
(1)求证：△BCD≌△ACE;
(2)求DE的长度.
24.如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上.
(1)利用尺规按要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法).
①作∠CBD的平分线;
②作BC边的中垂线交BC边于点E，连接AE并延长交∠CBD的平分线于点F.
(2)由(1)得：BF与边AC的位置关系是 .
25.某公司拟为贫困山区建一所希望小学，甲、乙两个工程队提交了投标方案，若独立完成该项目，则甲工程队所用时间是乙工程队的1.5倍;若甲、乙两队合作完成该项目，则共需72天.
(1)甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天?
(2)若由甲工程队单独施工，平均每天的费用为0.8万元，为了缩短工期，该公司选择了乙工程队，但要求其施工的总费用不能超过甲工程队，求乙工程队平均每天的施工费用最多为多少万元?
26. 1.问题情境：将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由.
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线.(依据1)
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON.(依据2)
反思交流：
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ;
依据2： .
(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.
拓展延伸：
(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程.
参考答案
1.C.
2.D.
3.A.
4.B
5.C
6.D.
7.A.
8.B.
9.A.
10.D.
11.D
12.A.
13.40°.
14.6cm
15.-32.
16. .
17.(12，6).
18.6.
19.x﹣1
20. ，
21.-3.
22.(1)∵AB=AC
∴∠B=∠C
又BE=CF，BD=CE
∴
∴DE=FE
∴△DEF是等腰三角形
(2)∵
∴∠BDE=∠CEF
∵∠A=40°
∴∠B =∠C =70°
∴∠BDE+∠BED=110°
∴∠CEF+∠BED=110°
∴ .
23.(1)证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC.
∵∠ACE=∠DCE﹣∠DCA，∠BCD=∠ACB﹣∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中 ，
∴△ACE≌△BCD(SAS);
(2)13.
24.BF与边AC的位置关系是 平行
25.(1)甲单独完成建校工程需180天，乙单独完成建校工程需120天;
(2) 乙工程队平均每天的施工费用最多1.2万元.
26. (1)解：故答案为：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角的两边距离相等.
(2)证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB.
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
，
∴△OMA≌△ONB(AAS)，
∴OM=ON.
(3)解：OM=ON，OM⊥ON.理由如下：
连接OC，
∵∠ACB=∠DNB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BND，
∴ = ，
∵AC=BC，
∴DN=NB.
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°=∠DNC，
∴MC∥DN，
又∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°，
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∵∠B=45°，∠DNB=90°，
∴∠3=∠B=45°，
∴DN=NB，
∴MC=NB，
∵∠ACB=90°，O为AB中点，AC=BC，
∴∠1=∠2=45°=∠B，OC=OB(斜边中线等于斜边一半)，
在△MOC和△NOB中
∴△MOC≌△NOB(SAS)，
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON.
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