Question

.利用定积分定义求下列极限:(1)lim_(n)(1/(n+1)+1/(n+2)++1/(n+n)？

Answer 1

😳问题 : 利用定积分定义求 lim(n->∞) [ 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)]

👉定积分的定义

• 定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系，一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。

1. 『例子一』 lim(n->∞) (1/n^2+2/n^2+...+n/n^2) = ∫(0->1) x dx

2. 『例子二』 lim(n->∞) (1/n)[ sin(1/n)+sin(2/n)+...+sin(n/n)] = ∫(0->1) sinx dx

3. 『例子三』lim(n->∞) (1/n)[ cos(1/n)+cos(2/n)+...+cos(n/n)] = ∫(0->1) cosx dx

👉回答

lim(n->∞) [ 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)]

=lim(n->∞) ∑(i:1->n) 1/(n+i)

• 抽出 1/n

=lim(n->∞) (1/n)∑(i:1->n) 1/(1+i/n)

• f(x) = 1/(1+x)  => f(i/n)=1/(1+i/n)

=∫(0->1) dx/(1+x)

=[ln|1+x|]|(0->1)

• 代入积分上下限

=ln2

😄: 结果 :  lim(n->∞) [ 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)] =ln2

Answer 2

=ln2