如何求解一阶线性微分方程的解?

 我来答
茹翊神谕者

2023-08-09 · TA获得超过2.5万个赞
知道大有可为答主
回答量:3.6万
采纳率:76%
帮助的人:1592万
展开全部

简单分析一下,答案如图所示

crs0723
2023-04-12 · TA获得超过2.5万个赞
知道大有可为答主
回答量:1.6万
采纳率:85%
帮助的人:4544万
展开全部
一阶线性微分方程是指形如下列形式的微分方程:
y'+p(x)y=q(x)
其中 p(x) 和 q(x) 是已知的函数,y 是未知函数。解一阶线性微分方程的方法如下:
1.求齐次方程的通解
首先,我们可以求出齐次方程的通解,即:
y'+p(x)y=0
通过变量分离法,可以将该方程转化为:
dy/y=-p(x)dx
对两边同时积分,得到:
ln|y| = -∫p(x)dx + C1
其中 C1 是常数,所以齐次方程的通解为:
y=C1*e^{-∫p(x)dx}
2.求非齐次方程的一个特解
接下来,我们需要求出非齐次方程的一个特解 yp。根据常数变易法,我们可以假设特解 yp 具有与齐次方程通解相同的形式,即:
yp=u(x)e^{-∫p(x)dx}
代入非齐次方程,得到:
u'(x)e^{-∫p(x)dx}+u(x)(-p(x))e^{-∫p(x)dx}=q(x)
移项可得:
u'(x)e^{-∫p(x)dx}=q(x)e^{∫p(x)dx}
对两边同时积分,得到:
u(x)=∫q(x)e^{∫p(x)dx}dx + C2
其中 C2 是常数,所以非齐次方程的一个特解为:
yp=[∫q(x)e^{∫p(x)dx}dx + C2]*e^{-∫p(x)dx}
3.求非齐次方程的通解
由于非齐次方程的通解可以表示为 Y=y+yp,所以非齐次方程的通解为:
Y=[∫q(x)e^{∫p(x)dx}dx + C]*e^{-∫p(x)dx}
其中 C 是常数,C=C1+C2。
综上所述,我们可以通过以上三步求解一阶线性微分方程的解。
本回答被网友采纳
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式