如何求解一阶线性微分方程的解？
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简单分析一下，答案如图所示
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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一阶线性微分方程是指形如下列形式的微分方程：
y'+p(x)y=q(x)
其中 p(x) 和 q(x) 是已知的函数，y 是未知函数。解一阶线性微分方程的方法如下：
1.求齐次方程的通解
首先，我们可以求出齐次方程的通解，即：
y'+p(x)y=0
通过变量分离法，可以将该方程转化为：
dy/y=-p(x)dx
对两边同时积分，得到：
ln|y| = -∫p(x)dx + C1
其中 C1 是常数，所以齐次方程的通解为：
y=C1*e^{-∫p(x)dx}
2.求非齐次方程的一个特解
接下来，我们需要求出非齐次方程的一个特解 yp。根据常数变易法，我们可以假设特解 yp 具有与齐次方程通解相同的形式，即：
yp=u(x)e^{-∫p(x)dx}
代入非齐次方程，得到：
u'(x)e^{-∫p(x)dx}+u(x)(-p(x))e^{-∫p(x)dx}=q(x)
移项可得：
u'(x)e^{-∫p(x)dx}=q(x)e^{∫p(x)dx}
对两边同时积分，得到：
u(x)=∫q(x)e^{∫p(x)dx}dx + C2
其中 C2 是常数，所以非齐次方程的一个特解为：
yp=[∫q(x)e^{∫p(x)dx}dx + C2]*e^{-∫p(x)dx}
3.求非齐次方程的通解
由于非齐次方程的通解可以表示为 Y=y+yp，所以非齐次方程的通解为：
Y=[∫q(x)e^{∫p(x)dx}dx + C]*e^{-∫p(x)dx}
其中 C 是常数，C=C1+C2。
综上所述，我们可以通过以上三步求解一阶线性微分方程的解。
y'+p(x)y=q(x)
其中 p(x) 和 q(x) 是已知的函数，y 是未知函数。解一阶线性微分方程的方法如下：
1.求齐次方程的通解
首先，我们可以求出齐次方程的通解，即：
y'+p(x)y=0
通过变量分离法，可以将该方程转化为：
dy/y=-p(x)dx
对两边同时积分，得到：
ln|y| = -∫p(x)dx + C1
其中 C1 是常数，所以齐次方程的通解为：
y=C1*e^{-∫p(x)dx}
2.求非齐次方程的一个特解
接下来，我们需要求出非齐次方程的一个特解 yp。根据常数变易法，我们可以假设特解 yp 具有与齐次方程通解相同的形式，即：
yp=u(x)e^{-∫p(x)dx}
代入非齐次方程，得到：
u'(x)e^{-∫p(x)dx}+u(x)(-p(x))e^{-∫p(x)dx}=q(x)
移项可得：
u'(x)e^{-∫p(x)dx}=q(x)e^{∫p(x)dx}
对两边同时积分，得到：
u(x)=∫q(x)e^{∫p(x)dx}dx + C2
其中 C2 是常数，所以非齐次方程的一个特解为：
yp=[∫q(x)e^{∫p(x)dx}dx + C2]*e^{-∫p(x)dx}
3.求非齐次方程的通解
由于非齐次方程的通解可以表示为 Y=y+yp，所以非齐次方程的通解为：
Y=[∫q(x)e^{∫p(x)dx}dx + C]*e^{-∫p(x)dx}
其中 C 是常数，C=C1+C2。
综上所述，我们可以通过以上三步求解一阶线性微分方程的解。
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