怎样用十个常用的泰勒展开式求一个函数的泰勒展开式?
在了解十个常用的泰勒展开式之前，应该先了解函数f(x)的泰勒多项式的一般形式。因为常用的泰勒展开式都是基于这个一般形式所得到的。
若函数f(x)在点x0存在直到n阶的导数，那么这些导数构成的：
Tn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!
称为函数f(x)在点x0处的泰勒多项式，其中各项系数f^(k)(x0)/k! (k=1,2,…, n)称为泰勒系数。
而函数f(x)的泰勒展开式就是它所对应的泰勒多项式与一个比(x-x0)^n高阶的无穷小的和，即Tn(x)+o((x-x0)^n)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。它是所有泰勒展开式的基础，因此算作第一个常用的泰勒展开始。
所以确定函数的泰勒展开式的关键，就是确定各项的系数，往更本质的问题上说，就是要确定函数在x0的各阶导数值。
其余九个常见的泰勒展开式分别包括：
1、x^a=x0^a+ax0^(a-1)(x-x0)+a(a-1)x0^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n).
2、(1+x)^a=(1+x0)^a+a(1+x0)^(a-1)(x-x0)+a(a-1)(1+x0)^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n).
3、1/x=1/x0-(x-x0)/x0^2+(x-x0)^2/x0^3-(x-x0)^3/x0^4+…+(-1)^n(x-x0)^n/x0^(n+1)+o((x-x0)^n).
4、1/(1-x)=1/(1-x0)+(x-x0)/(1-x0)^2+(x-x0)^2/(1-x0)^3+(x-x0)^3/(1-x0)^4+…+(x-x0)^n/(1-x0)^(n+1)+o((x-x0)^n).
5、e^x=e^x0+e^x0(x-x0)+e^x0(x-x0)^2/2+…+e^x0(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n).
6、lnx=lnx0+(x-x0)/x0-(x-x0)^2/(2x0^2)+(x-x0)^3/(3x0^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(nx0^n)+o((x-x0)^n).
7、ln(1+x)=ln(1+x0)+(x-x0)/(1+x0)-(x-x0)^2/(2(1+x0)^2)+(x-x0)^3/(3(1+x0)^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(n(1+x0)^n)+o((x-x0)^n).
8、sinx=sinx0+(x-x0)sin(x0+π/2)+(x-x0)^2sin(x0+π)/2+…+(x-x0)^nsin(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n).
9、cosx=cosx0+(x-x0)cos(x0+π/2)+(x-x0)^2cos(x0+π)/2+…+(x-x0)^ncos(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n).
不过我们最常用的并不是泰勒展开式的原式，而是泰勒展开式在x0=0的形式，这样的泰勒展开式称为麦克劳林公式。其一般形式为：
f(x)=Tn(0)+o(x^n)=f(0)+xf'(0)/1!+x^2f"(0)/2!+…+x^nf^(n)(0)/n!+o(x^n).
不难发现，函数x^a, 1/x, lnx在x0=0处的泰勒展开式没有意义，因此它们并不常用，但在x0等于一个非0的(正)数时，它们都有意义，所以也可以把它们归入常用的泰勒展开式中。其它几个常用的泰勒展开式的麦克劳林公式分别为：
1、(1+x)^a=1+ax+a(a-1)x^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)x^n/n!+o(x^n).
2、1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+…+x^n+o(x^n).
3、e^x=1+x+x^2/2+…+x^n/n!+o(x^n).
4、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+…+(-1)^(n+1)x^n/n+o(x^n).
5、sinx=x-x^3/3!+x^5/5+…+(-1)^(m+1)x^(2m-1)/(2m-1)!+o(x^(2m)).
6、cosx=1-x^2/2+x^4/4!+…+(-1)^mx^(2m)/(2m)!+o(x^(2m)).
以上就是包括一般形式在内的十个常用的泰勒展开式，以及如果它们存在麦克劳林公式的情形。
