Question

为什么一元二次方程没有实根β

Answer 1

一元二次方程的一般形式是 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a\), \(b\), 和 \(c\) 是常数。
判断一元二次方程是否有实根，我们需要计算判别式（Discriminant）：
\[D = b^2 - 4ac\]
- 如果 \(D > 0\)，那么方程有两个不相等的实根。
- 如果 \(D = 0\)，那么方程有两个相等的实根（或者说有一个实根）。
- 如果 \(D < 0\)，那么方程没有实根。
所以，当你说一元二次方程没有实根时，这意味着判别式 \(D\) 是负数，即 \(b^2 - 4ac < 0\)。在这种情况下，方程的根是复数，而不是实数。

Answer 2

∵一元二次方程没有实根，

∴判别式＝p^2－4q＜0，∴4q－p^2＞0。

由韦达定理，有：（α＋βi）＋（α－βi）＝－p，∴2α＝－p，∴α＝－p/2，∴α^2＝p^2/4。

再由韦达定理，有：（α＋βi）（α－βi）＝q，∴α^2＋β^2＝q，∴β^2＝q－p^2/4，

∴β＝（1/2）√（4q－p^2），

或β＝－（1/2）√（4q－p^2）。

扩展资料：

韦达定理的作用：

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为

 

（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。

参考资料来源：百度百科--共轭复根

参考资料来源：百度百科--韦达定理