Question

这道极限怎么做呀？

Answer 1

这个题目可以用洛必达法则来解，即当分子和分母都趋于无穷大或者零时，极限等于分子和分母的导数的极限。具体步骤如下：

• 对分子和分母分别求导，得到

  dxd(−ex)=−ex

  和

  dxd((1+1x)x2)=(1+1x)x2(2xln(1+1x)+1+xx2)

• 将导数代入原极限，得到

  x→∞lim(1+1x)x2−ex=x→∞lim(1+1x)x2(2xln(1+1x)+1+xx2)−ex

• 再次使用洛必达法则，对新的分子和分母求导，得到

  dxd(−ex)=−ex

  和

  dxd((1+1x)x2(2xln(1+1x)+1+xx2))=(1+1x)x2(4xln(1+1x)+4x+1+x3x2+2ln(1+1x))

• 将导数代入原极限，得到

  x→∞lim(1+1x)x2−ex=x→∞lim(1+1x)x2(4xln(1+1x)+4x+1+x3x2+2ln(1+1x))−ex

• 观察新的分子和分母，发现当 x 趋于无穷大时，分子的主要因素是 -e^x，而分母的主要因素是 (4 x ln(  1 + x )) (  1 + x )^x²。因此，可以将其他次要因素忽略，得到

  x→∞lim(4xln(1+x))(1+x)x2−ex

• 对新的极限进行变形，得到

  −x→∞lime−4xln(1+x)+x2ln(e)=−x→∞lime−4xln(1+x)+x2=−t→0lime−4tln(t)+t−2

  其中 t =  1 / x 是一个变量替换。

• 观察新的极限，发现当 t 趋于零时，指数函数的指数部分趋于负无穷大，因此整个函数趋于零。所以最终的答案是

  −t→0lime−4tln(t)+t−2=0

已收到消息. 你的题目是求极限 $$\lim_{x \to \infty} \frac{-e^x}{(1+\frac{x}{1})^{x^2}}$$
这个题目可以用洛必达法则来解，即当分子和分母都趋于无穷大或者零时，极限等于分子和分母的导数的极限。具体步骤如下：

- 对分子和分母分别求导，得到 $$\frac{d}{dx}(-e^x)=-e^x$$ 和 $$\frac{d}{dx}((1+\frac{x}{1})^{x^2})=(1+\frac{x}{1})^{x^2}(2x\ln(1+\frac{x}{1})+\frac{x^2}{1+x})$$
- 将导数代入原极限，得到 $$\lim_{x \to \infty} \frac{-e^x}{(1+\frac{x}{1})^{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac{-e^x}{(1+\frac{x}{1})^{x^2}(2x\ln(1+\frac{x}{1})+\frac{x^2}{1+x})}$$
- 再次使用洛必达法则，对新的分子和分母求导，得到 $$\frac{d}{dx}(-e^x)=-e^x$$ 和 $$\frac{d}{dx}((1+\frac{x}{1})^{x^2}(2x\ln(1+\frac{x}{1})+\frac{x^2}{1+x}))=(1+\frac{x}{1})^{x^2}(4x\ln(1+\frac{x}{1})+4x+\frac{3x^2}{1+x}+2\ln(1+\frac{x}{1}))$$
- 将导数代入原极限，得到 $$\lim_{x \to \infty} \frac{-e^x}{(1+\frac{x}{1})^{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac{-e^x}{(1+\frac{x}{1})^{x^2}(4x\ln(1+\frac{x}{1})+4x+\frac{3x^2}{1+x}+2\ln(1+\frac{x}{1}))}$$
- 观察新的分子和分母，发现当 x 趋于无穷大时，分子的主要因素是 -e^x，而分母的主要因素是 (4 x ln(  1 + x )) (  1 + x )^x²。因此，可以将其他次要因素忽略，得到 $$\lim_{x \to \infty} \frac{-e^x}{(4 x ln(  1 + x )) (  1 + x )^{x^2}}$$
- 对新的极限进行变形，得到 $$-\lim_{x \to \infty} e^{-4 x ln(  1 + x ) + x ^ 2 ln(e)}=-\lim_{x \to \infty} e^{-4 x ln(  1 + x ) + x ^ 2 }=-\lim_{t \to 0} e^{-4 t ln(  t ) + t ^ {-2}}$$ 其中 t =  1 / x 是一个变量替换。
- 观察新的极限，发现当 t 趋于零时，指数函数的指数部分趋于负无穷大，因此整个函数趋于零。所以最终的答案是 $$-\lim_{t \to 0} e^{-4 t ln(  t ) + t ^ {-2}}=0$$       

Answer 2

等价无穷小替换简单，洛比塔法则麻烦