Question

初等行变换可以把矩阵化成阶梯形矩阵吗？

Answer 1

注：用初等行变换(不交换行)化成梯矩阵，

非零行的首非零元所在列构成一个最高阶非零子式：

2 1 8 3 7

2 -3 0 7 -5

3 -2 5 8 0

1 0 0 2 0

r1-2r4,r2-2r4,r3-3r4

0 1 8 -1 7

0 -3 0 3 -5

0 -2 5 2 0

1 0 0 2 0

r2+3r1,r3+2r1

0 1 8 -1 7

0 0 24 0 16

0 0 21 0 14

1 0 0 2 0

r3-(21/24)r2

0 1 8 -1 7

0 0 24 0 16

0 0 0 0 0

1 0 0 2 0

容易看出2,3行成比例,所以第1,2,4行,1,2,3列构成一个最高阶非零子式。

扩展资料：

变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

|0 A |

|-B En|

所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n matrix。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。

参考资料来源：百度百科--矩阵的秩