已知函数 f(x)=lnx-a/(x+1) 讨论函数f(x)的单调性？
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解：易知当a=0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增
当a≠0时，f′(x)=1/x+a/(x+1)²=[(x+1)²+ax]/[x(x+1)²]
记g(x)=(x+1)²+ax=x²+(2+a)x+1
由△=(2+a)²-4=a(a+4)
当a>0或a<-4时，方程g(x)=0有两个不等实根，解之得x₀=[-(2+a)±根号(a(a+4))]/2
取x₀=[-(2+a)+根号(a(a+4))]/2
又根号[a(a+4)]<根号[(a+2)²]=a+2
所以x₀<0
故f′(x)在(0,+∞)单调递增
当-4≤a≤0时，g(x)≥0，故f′(x)恒大于0
所以f(x)单调递增
综上，f(x)在(0,+∞)上单调递增
当a≠0时，f′(x)=1/x+a/(x+1)²=[(x+1)²+ax]/[x(x+1)²]
记g(x)=(x+1)²+ax=x²+(2+a)x+1
由△=(2+a)²-4=a(a+4)
当a>0或a<-4时，方程g(x)=0有两个不等实根，解之得x₀=[-(2+a)±根号(a(a+4))]/2
取x₀=[-(2+a)+根号(a(a+4))]/2
又根号[a(a+4)]<根号[(a+2)²]=a+2
所以x₀<0
故f′(x)在(0,+∞)单调递增
当-4≤a≤0时，g(x)≥0，故f′(x)恒大于0
所以f(x)单调递增
综上，f(x)在(0,+∞)上单调递增
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2024-10-13 广告
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