Question

71个小球，依次不放回取出，概率怎么算？

71个小球，其中12个绿球，32个蓝球，27个红球，依次不放回取出，概率怎么算？
1、取40个小球，40个小球都没有红球的概率是多少？
2、取40个小球，40个小球中绿球+蓝球不超过15个的概率是多少？

Answer 1

1. 取40个小球，40个小球都没有红球的概率是：
(44/71) × (43/70) × … × (5/32) × (4/31) × (3/30) × (2/29) × (1/28) ≈ 0.000706

其中，第一次取出小球时概率为44/71，因为有44个除红外的球；第二次在剩下的小球中取出球的概率为43/70，因为此时剩下了70个小球；以此类推，直到取出第40个小球的概率为2/29。

2. 取40个小球，40个小球中绿球+蓝球不超过15个的概率是：
设S为满足条件的取球方案数，总的取球方案数为C(71, 40)。那么不超过15个绿球和蓝球的方案数就等于不超过15个绿球的方案数与不超过15个蓝球的方案数之和。由于绿球和蓝球在总球数中数量比较接近，因此这两个方案数近似相等。

考虑不超过15个绿球的方案数，可以分为三种情况计算：
- 没有绿球，此时需要从32个蓝球和27个红球中取40个球，方案数为C(32+27,40)；
- 有1个绿球，此时需要从12个绿球、32个蓝球和27个红球中取39个球，方案数为C(12,1) × C(32+27,39)；
- 有2个绿球，此时需要从12个绿球、32个蓝球和27个红球中取38个球，方案数为C(12,2) × C(32+27,38)。

因此，不超过15个绿球的方案数为：
C(32+27,40) + C(12,1) × C(32+27,39) + C(12,2) × C(32+27,38)

由于绿球和蓝球的方案数近似相等，则不超过15个蓝球的方案数与不超过15个绿球的方案数之和也可以用上述方法计算。因此，不超过15个绿球和蓝球的方案数为：
2 × (C(32+27,40) + C(12,1) × C(32+27,39) + C(12,2) × C(32+27,38))

因此，绿球和蓝球不超过15个的概率为：
2 × (C(32+27,40) + C(12,1) × C(32+27,39) + C(12,2) × C(32+27,38)) / C(71,40) ≈ 0.067