Question

求一道高数二的证明题，请帮帮忙

2、 设X1·X2为来自总体X的样本，a与b为两个实数，且a+b=1，证明：ax1+bx2为总体均值的无偏估计量，且当a=b=1\2是为最有效。

Answer 1

证明：
无偏性：
E（X1）=E（X2）=E（X）[因为是总体样本的抽样]
所以：E（ax1+bx2）= aE(X1)+bE(X2)=(a+b)E(X)=E(X) [ a+b=1 ]
所以是无偏估计

有效性
D（X的估计）=D（ax1+bx2）=a^2D(X1)+b^2D(X2) = (a^2+b^2)D(X1)

最有效，意味着：D（X的估计）最小
=> a^2+(1-a)^2最小，所以 a=0.5=b的时候，最有效