Question

如何用导数法判断三次方程只有一个实根

？？？

Answer 1

导函数是二次函数
若y'=0只有一个解或无解，则三次方程所代表的曲线在R上单调，所以和x轴只有一个交点，此时只有一个解

若y'=0有两个不同的根
则根据y'的符号得出三次函数的单调性，进而可判断出两个极值那个是极大，哪个是极小
则当极大值小于0或极小值大于0时，方程只有一个解

Answer 2

我们以普遍的三次方程为例
0=x^3+ax^2+bx+c
导数法的做法是，令f(x)=x^3+ax^2+bx+c
求导,f'(x)=3x^2+2ax+b
如果这个导函数，在实数范围内大于或等于零，那说明原函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在实数范围内是一个增函数，它只与x轴有一个交点。方程也因此只有一个实根。
但是普遍情形下，三次函数与x轴的交点有1，2，3不等，视具体系数而定。