Question

卜拉美古嗒公式

要解释的！！！！！！！！！！！
1楼2楼3楼，请注意审题
！！！！！！

Answer 1

初等平面几何

一 公理
1 任意不同的两点确定通过它们的一条直线。
2 设AB是给定的线段，OX是已知的射线，则在射线OX上有且只有一点C，使得线段OC=AB。
3 几何图形可以迁移位置而不改变其形状和大小。
4 平行公理：通过已知直线外一点至多可引一条直线和已知直线平行。
5 阿基米德公理：给定线段AB>CD, 当用后者去度量前者时，量了若干次后，总会超过前者，或者说，必定存在正整数n, 使得 (n-1)CD≤AB≤Ncd

二 轴对称和中心对称
1 轴对称：沿某条直线对折，在直线两旁的部分完全重合。这条直线叫对称轴，能重合在一起的点叫对称点。若这是一个图形，就叫轴对称图形。（如等腰三角形）
性质：对称点的中垂线即为对称轴。
2 中心对称：两个图形绕某中心旋转180°能彼此重合。该点叫对称中心，能重合的点叫对称点。若这是一个图形，就叫中心对称图形。（如平行四边形）
性质：对称点的中点即为对称中心。

三 基本概念
1 线段的中垂线和角的平分线
（1）中垂线的性质：
1°中垂线上任一点距线段两端等远
2°凡距线段两端等远的点都在中垂线上
（2）角平分线的性质：
1°角平分线上的任一点同角的两边等距
2°凡在角内同两边等距的点都在角平分线上

2视角
（1）线段的视角：自一点发出两条射线使分别通过一已知线段的两端，则这两条射线所成的角，叫做该点对已知线段的视角。
（2）点对圆的视角：自圆外一点向圆所引的两切线（视为射线），这两切线的夹角叫做该点对圆的视角。

三 全等三角形
1判定定理：s.a.s, a.s.a, a.a.s, S.s.a(大边边角)
S.s.a: 两三角形若有两边及其中大边的对角对应相等，则它们必是全等的。
证：a/sinA = a1/sinA1, b/sinB = b1/sinB1, 若a,a1均为大边，a=a1, b=b1,且A=A1，则sinB=sinB1, 而B，B1∈（0，180°），故B，B1相等或互补，但若是互补，那么
max(B,B1)≥90°,这与b,b1是小边矛盾，所以B=B1.
注意：小边边角不成立。
2 全等直角三角形：
（1）直角边，直角边（s.a.s）
（2）斜边，直角边(S.s.a)
（3）直角边，相邻或相对锐角(a.s.a, a.a.s)
（4）斜边，锐角(a.a.s)

四 平行线
1存在定理：在一平面上，同垂直于一已知直线的两条直线互相平行。
2判定定理：两已知直线被第三条直线所截，若下列条件之一成立，则这两已知直线互相平行：
1°同位角相等
2°内错角相等
3°同旁内角互补

3性质定理：若两直线被第三条直线所截，则所成
1°同位角相等
2°内错角相等
3°同旁内角互补
推论：（1）若两条直线垂直于两条平行线之一，则也垂直于另一条。
（2）相交直线的垂线也相交。

4平行截割定理：
（1）两条直线被一组平行线所截，如果在一条直线截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
如果两条直线被一组截线各截出相等的线段，而且这组截线中有两条平行，那么全组截线都是互相平行的。（注意不是1°的逆定理）
（2）角平行截割定理：角的两边被平行线所截，如果在一边截得的线段相等，那么在另一边截得的线段也相等。
角平行截割定理逆定理：角的两边被一组截线各截出相等的线段，那么全组截线都是互相平行的。

（3）关于比例的平行截割定理：
1°两条直线被一条平行于第三边的直线所截，截得的线段必成比例。
2°如果两条直线被一组截线截出的线段成比例，而且这组截线中有两条平行，那么全组截线都是互相平行的。
3°三角形的两边被一组平行线所截，截得的线段必成比例。
4°逆定理：如果三角形的两边被一条直线截得的线段成比例，那么这条直线平行于第三边。

（4）中位线定理
1°三角形任一中位线平行于第三边且等于该边的一半。
2°梯形的中位线平行于底边且等于两底和的一半。
五 图形
（一）三角形
1 外角定理：三角形的每个外角大于任一内对角。
2 等腰三角形：四线合一

3 三角形不等定理：

（1）大边对大角，大角对大边
（2）三角形中，任一边小于其它两边之和而大于它们的差。
推论：对于任意三点A、B、C，总有 ∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC
（3）若两个三角形彼此有两边对应相等，则
1°夹角大的，对边较大
2°第三边大的，对角较大

4 五心
（1）外心：三边中垂线之交点，也是外接圆之圆心
（2）重心：三边中线之交点
（3）垂心：三边高线之交点（与三顶点构成垂心组）
（4）内心：三内角平分线之交点，也是内切圆之圆心
（5）旁心：一内角与另外两内角之外角的三条角平分线之交点，共有3点，也是旁切圆之圆心

5 内、外角平分线定理：设三角形某角及其外角的平分线同对边及其延长线相交，则交点分别内分及外分对边，所得分比等于两邻边之比。（逆定理存在）
6 正三角形：PA≤PB+PC，当P位于其外接圆中A点所对的弧BC时取等号。

（二）平行四边形
1 定义：两双对边各互相平行的四边形。
2 性质定理：
1°两双对边各相等
2°两双对角各相等
3°两对角线各互相平分

3 判定定理：四边形若具有下列条件之一，则必是平行四边形
1°两双对边各相等
2°两双对角各相等
3°两对角线各互相平分
4°一双对边平行且相等

4 矩形：等角的平行四边形（两对角线相等，对边中点的连线为对称轴）
菱形：等边的平行四边形（两对角线互相平分，且对角线为对称轴）
正方形：既是矩形又是菱形的四边形（4条对称轴）
（三）梯形
1 定义：有一双对边平行的四边形。
2 等腰梯形：两腰相等，两底角相等，对角线相等，以两底中点的连线为对称轴。

（四）多边形
1 内角和：（n-2）*180°,外角和：360°
2 正多边形：每条边、每个角都相等的多边形

（五） 圆
1 对称性：以圆心为对称中心，以任一条直径为对称轴。
2 不等定理：弧、弦、圆心角、弦心距 l=Rθ=(n\180)*2πR
3 切线定理
（1）圆的切线垂直于过切点的半径
（2）经过圆半径外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线
（3）自圆外一点向圆所引的两切线等长，且自该点至圆心所引的射线平分该点对圆的视角
（4）公切线定理：两圆的两条外公切线等长，两条内公切线也等长
（5）两圆相切定理：
1°相切两圆的切点在连心线上，反之，两圆过连心线上同一点必然相切
2°两圆外切的充要条件是OO′= R+R′，内切的充要条件是OO′= ∣R-R′∣

4 圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角
（在一圆中，同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半）
弦切角：一边和圆相交，另一边和圆相切于顶点的角
（圆的弦切角等于它包含的弧所对的圆周角）
圆内角：顶点在圆内的角
（圆的圆内角，等于它本身及其对顶角包含的弧所对的圆周角之和）
圆外角：顶点在圆外而两边和圆均有公共点的角
（圆的圆外角，等于它包含的两弧所对的圆周角之差）
总结：1°同弧所对的：圆内角>圆周角=弦切角>圆外角
2°如果一个角的两边和圆均有公共点而且等于圆周角，那么此角的顶点一定在圆上。

5 圆内接四边形：对角互补。（逆定理存在）
圆外切四边形：对边和相等。（逆定理存在）

6 圆幂定理：已知一圆O，通过一点P任作一割线交圆于A、B，则
p=PA*PB=∣PO2-R2∣,令p′= PO2-R2,这个p′值，叫做P点对于圆O的幂。具体的说，点在圆外幂为正，点在圆内幂为负，点在圆上幂为0
7 四点共圆的判断：
（1）对角互补的四边形
（2）两点对一线段等视角
（3）圆幂定理：PA*PB=PC*PD
六 相似三角形
1 基本定理：平行于三角形的一边而且和其它两边相交的直线，截得的三角形和原三角形相似。
2 判定定理：两个三角形若具有下列条件之一，则它们必是相似的：
（1）两双对应角各相等（a.a）
（2）一双对应角相等且其夹边成比例(a.s.a)
（3）三双对应边成比例(s.s.s)
（4）两双对应边成比例且其中大边的对角相等(S.s.a)
3 相似三角形任一双对应线段（如对应的高、中线、角平分线等）的比都等于相似比。

七 面积
S（平行四边形）=ah=absinα
S（矩形）=ab
S（菱形）= ah=absinα= (1/2)l1l2
S（正方形）=a2= (1/2)l2
S（三角形）=(1/2)ah=(1/2)absinC
S（圆）=πR2
S（扇形）=(n/360) πR2=(1/2)θR 2
S（弓形）=(1/2)R 2（απ/180-sinα）

贝利契纳德公式：S(四边形)= (1/4)[4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2]1/2
卜拉美古嗒公式：S(圆内接四边形)= [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] 1/2 (s为半周)
海伦公式：S(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2

八 基本轨迹：
1 距离两个已知点等远的点的轨迹，是这两点间所连线段的中垂线。
2 在已知角内和两边等距的点的轨迹，是这个角的平分线。
3 同两条平行的已知直线等距的点的轨迹是一条直线，它和这两条已知直线平行，且同它们等距。
4 到一条已知直线距离为定长的点的轨迹，是在已知直线两侧并和它平行的一双直线，其中每一条到已知直线的距离都等于定长。
5 到一个定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的一个圆。
6 对于一定线段的视角等于定角的点的轨迹，是以定线段为弦的一双弓形弧。
7 对于一定线段的视角等于直角的点的轨迹，是以定线段为直径的一个圆。

九 特别概念
1 欧拉线：三角形的外心、重心、垂心共线
（重心到一边之距离等于对顶点到垂心距离之一半）
2 牛顿线：完全四边形三条对角线的中点共线
3 密克点：完全四边形各边交成四个三角形，它们的外接圆共点。
4 西摩松线：
（1）某点在三角形三边或其延长线上的正射影共线的充要条件是某点在三角形的外接圆上。三正射影所在的直线叫做叫做某点对于三角形的西摩松线。
（2）完全四边形的密克点在四边上的正射影共线。这直线叫做完全四边形的西摩松线。
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Answer 2

初等平面几何

一 公理
1 任意不同的两点确定通过它们的一条直线。
2 设AB是给定的线段，OX是已知的射线，则在射线OX上有且只有一点C，使得线段OC=AB。
3 几何图形可以迁移位置而不改变其形状和大小。
4 平行公理：通过已知直线外一点至多可引一条直线和已知直线平行。
5 阿基米德公理：给定线段AB>CD, 当用后者去度量前者时，量了若干次后，总会超过前者，或者说，必定存在正整数n, 使得 (n-1)CD≤AB≤Ncd

二 轴对称和中心对称
1 轴对称：沿某条直线对折，在直线两旁的部分完全重合。这条直线叫对称轴，能重合在一起的点叫对称点。若这是一个图形，就叫轴对称图形。（如等腰三角形）
性质：对称点的中垂线即为对称轴。
2 中心对称：两个图形绕某中心旋转180°能彼此重合。该点叫对称中心，能重合的点叫对称点。若这是一个图形，就叫中心对称图形。（如平行四边形）
性质：对称点的中点即为对称中心。

三 基本概念
1 线段的中垂线和角的平分线
（1）中垂线的性质：
1°中垂线上任一点距线段两端等远
2°凡距线段两端等远的点都在中垂线上
（2）角平分线的性质：
1°角平分线上的任一点同角的两边等距
2°凡在角内同两边等距的点都在角平分线上

2视角
（1）线段的视角：自一点发出两条射线使分别通过一已知线段的两端，则这两条射线所成的角，叫做该点对已知线段的视角。
（2）点对圆的视角：自圆外一点向圆所引的两切线（视为射线），这两切线的夹角叫做该点对圆的视角。

三 全等三角形
1判定定理：s.a.s, a.s.a, a.a.s, S.s.a(大边边角)
S.s.a: 两三角形若有两边及其中大边的对角对应相等，则它们必是全等的。
证：a/sinA = a1/sinA1, b/sinB = b1/sinB1, 若a,a1均为大边，a=a1, b=b1,且A=A1，则sinB=sinB1, 而B，B1∈（0，180°），故B，B1相等或互补，但若是互补，那么
max(B,B1)≥90°,这与b,b1是小边矛盾，所以B=B1.
注意：小边边角不成立。
2 全等直角三角形：
（1）直角边，直角边（s.a.s）
（2）斜边，直角边(S.s.a)
（3）直角边，相邻或相对锐角(a.s.a, a.a.s)
（4）斜边，锐角(a.a.s)

四 平行线
1存在定理：在一平面上，同垂直于一已知直线的两条直线互相平行。
2判定定理：两已知直线被第三条直线所截，若下列条件之一成立，则这两已知直线互相平行：
1°同位角相等
2°内错角相等
3°同旁内角互补

3性质定理：若两直线被第三条直线所截，则所成
1°同位角相等
2°内错角相等
3°同旁内角互补
推论：（1）若两条直线垂直于两条平行线之一，则也垂直于另一条。
（2）相交直线的垂线也相交。

4平行截割定理：
（1）两条直线被一组平行线所截，如果在一条直线截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
如果两条直线被一组截线各截出相等的线段，而且这组截线中有两条平行，那么全组截线都是互相平行的。（注意不是1°的逆定理）
（2）角平行截割定理：角的两边被平行线所截，如果在一边截得的线段相等，那么在另一边截得的线段也相等。
角平行截割定理逆定理：角的两边被一组截线各截出相等的线段，那么全组截线都是互相平行的。

（3）关于比例的平行截割定理：
1°两条直线被一条平行于第三边的直线所截，截得的线段必成比例。
2°如果两条直线被一组截线截出的线段成比例，而且这组截线中有两条平行，那么全组截线都是互相平行的。
3°三角形的两边被一组平行线所截，截得的线段必成比例。
4°逆定理：如果三角形的两边被一条直线截得的线段成比例，那么这条直线平行于第三边。

（4）中位线定理
1°三角形任一中位线平行于第三边且等于该边的一半。
2°梯形的中位线平行于底边且等于两底和的一半。
五 图形
（一）三角形
1 外角定理：三角形的每个外角大于任一内对角。
2 等腰三角形：四线合一

3 三角形不等定理：

（1）大边对大角，大角对大边
（2）三角形中，任一边小于其它两边之和而大于它们的差。
推论：对于任意三点A、B、C，总有 ∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC
（3）若两个三角形彼此有两边对应相等，则
1°夹角大的，对边较大
2°第三边大的，对角较大

4 五心
（1）外心：三边中垂线之交点，也是外接圆之圆心
（2）重心：三边中线之交点
（3）垂心：三边高线之交点（与三顶点构成垂心组）
（4）内心：三内角平分线之交点，也是内切圆之圆心
（5）旁心：一内角与另外两内角之外角的三条角平分线之交点，共有3点，也是旁切圆之圆心

5 内、外角平分线定理：设三角形某角及其外角的平分线同对边及其延长线相交，则交点分别内分及外分对边，所得分比等于两邻边之比。（逆定理存在）
6 正三角形：PA≤PB+PC，当P位于其外接圆中A点所对的弧BC时取等号。

（二）平行四边形
1 定义：两双对边各互相平行的四边形。
2 性质定理：
1°两双对边各相等
2°两双对角各相等
3°两对角线各互相平分

3 判定定理：四边形若具有下列条件之一，则必是平行四边形
1°两双对边各相等
2°两双对角各相等
3°两对角线各互相平分
4°一双对边平行且相等

4 矩形：等角的平行四边形（两对角线相等，对边中点的连线为对称轴）
菱形：等边的平行四边形（两对角线互相平分，且对角线为对称轴）
正方形：既是矩形又是菱形的四边形（4条对称轴）
（三）梯形
1 定义：有一双对边平行的四边形。
2 等腰梯形：两腰相等，两底角相等，对角线相等，以两底中点的连线为对称轴。

（四）多边形
1 内角和：（n-2）*180°,外角和：360°
2 正多边形：每条边、每个角都相等的多边形

（五） 圆
1 对称性：以圆心为对称中心，以任一条直径为对称轴。
2 不等定理：弧、弦、圆心角、弦心距 l=Rθ=(n\180)*2πR
3 切线定理
（1）圆的切线垂直于过切点的半径
（2）经过圆半径外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线
（3）自圆外一点向圆所引的两切线等长，且自该点至圆心所引的射线平分该点对圆的视角
（4）公切线定理：两圆的两条外公切线等长，两条内公切线也等长
（5）两圆相切定理：
1°相切两圆的切点在连心线上，反之，两圆过连心线上同一点必然相切
2°两圆外切的充要条件是OO′= R+R′，内切的充要条件是OO′= ∣R-R′∣

4 圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角
（在一圆中，同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半）
弦切角：一边和圆相交，另一边和圆相切于顶点的角
（圆的弦切角等于它包含的弧所对的圆周角）
圆内角：顶点在圆内的角
（圆的圆内角，等于它本身及其对顶角包含的弧所对的圆周角之和）
圆外角：顶点在圆外而两边和圆均有公共点的角
（圆的圆外角，等于它包含的两弧所对的圆周角之差）
总结：1°同弧所对的：圆内角>圆周角=弦切角>圆外角
2°如果一个角的两边和圆均有公共点而且等于圆周角，那么此角的顶点一定在圆上。

5 圆内接四边形：对角互补。（逆定理存在）
圆外切四边形：对边和相等。（逆定理存在）

6 圆幂定理：已知一圆O，通过一点P任作一割线交圆于A、B，则
p=PA*PB=∣PO2-R2∣,令p′= PO2-R2,这个p′值，叫做P点对于圆O的幂。具体的说，点在圆外幂为正，点在圆内幂为负，点在圆上幂为0
7 四点共圆的判断：
（1）对角互补的四边形
（2）两点对一线段等视角
（3）圆幂定理：PA*PB=PC*PD
六 相似三角形
1 基本定理：平行于三角形的一边而且和其它两边相交的直线，截得的三角形和原三角形相似。
2 判定定理：两个三角形若具有下列条件之一，则它们必是相似的：
（1）两双对应角各相等（a.a）
（2）一双对应角相等且其夹边成比例(a.s.a)
（3）三双对应边成比例(s.s.s)
（4）两双对应边成比例且其中大边的对角相等(S.s.a)
3 相似三角形任一双对应线段（如对应的高、中线、角平分线等）的比都等于相似比。

七 面积
S（平行四边形）=ah=absinα
S（矩形）=ab
S（菱形）= ah=absinα= (1/2)l1l2
S（正方形）=a2= (1/2)l2
S（三角形）=(1/2)ah=(1/2)absinC
S（圆）=πR2
S（扇形）=(n/360) πR2=(1/2)θR 2
S（弓形）=(1/2)R 2（απ/180-sinα）

贝利契纳德公式：S(四边形)= (1/4)[4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2]1/2
卜拉美古嗒公式：S(圆内接四边形)= [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] 1/2 (s为半周)
海伦公式：S(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2

八 基本轨迹：
1 距离两个已知点等远的点的轨迹，是这两点间所连线段的中垂线。
2 在已知角内和两边等距的点的轨迹，是这个角的平分线。
3 同两条平行的已知直线等距的点的轨迹是一条直线，它和这两条已知直线平行，且同它们等距。
4 到一条已知直线距离为定长的点的轨迹，是在已知直线两侧并和它平行的一双直线，其中每一条到已知直线的距离都等于定长。
5 到一个定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的一个圆。
6 对于一定线段的视角等于定角的点的轨迹，是以定线段为弦的一双弓形弧。
7 对于一定线段的视角等于直角的点的轨迹，是以定线段为直径的一个圆。

九 特别概念
1 欧拉线：三角形的外心、重心、垂心共线
（重心到一边之距离等于对顶点到垂心距离之一半）
2 牛顿线：完全四边形三条对角线的中点共线
3 密克点：完全四边形各边交成四个三角形，它们的外接圆共点。

Answer 3

轴对称和中心对称
1 轴对称：沿某条直线对折，在直线两旁的部分完全重合。这条直线叫对称轴，能重合在一起的点叫对称点。若这是一个图形，就叫轴对称图形。（如等腰三角形）
性质：对称点的中垂线即为对称轴。
2 中心对称：两个图形绕某中心旋转180°能彼此重合。该点叫对称中心，能重合的点叫对称点。若这是一个图形，就叫中心对称图形。（如平行四边形）
性质：对称点的中点即为对称中心。