Question

初二数学题证明矩形

M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD = 2AB．求证：四边形PMQN为矩形 图在这里
务必注意我们还没学菱形，所以不要用到有关知识，中位线也不要！ 30分钟内答，采用追加20分！

Answer 1

因为 M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD = 2AB
所以 AM=AB
所以 角ABM=角AMB
因为 平行四边形ABCD中 AD//BC
所以 角MBC=角AMB
因为 角ABM=角AMB
所以 角MBC=角ABM=1/2角ABC
同理 角MCB=角MCD=1/2角BCD，角ADN=角NDC=1/2角ADC
因为 平行四边形ABCD中 AB//CD
所以 角ABC+角BCD=180度
因为 角MBC=1/2角ABC，角MCB=1/2角BCD
所以 角MBC+角MCB=1/2(角ABC+角BCD)=90度
所以 角BMC=90度
因为 AD//BC
所以 角ADC+角BCD=180度
因为 角ABC+角BCD=180度
所以 角ADC=角ABC
因为 角MBC=角ABM=1/2角ABC，角ADN=角NDC=1/2角ADC
所以 角MBC=角ADN
因为 AD//BC
所以 角DNC=角ADN
所以 角DNC=角MBC
所以 MB//DN
同理 AN//MC
所以 四边形PMQN为平行四边形
因为 角BMC=90度
所以 四边形PMQN为矩形

Answer 2

因为四边形ABCD是平行四边形(对边平行)
所以角BAD+角CDA=180度(两直线平行 同旁内角互补)
所以角NAD+角NDA=90度所以角AND=90度(180度一半儿是90度; 三角形内角和180度)
同理可证 角BMC=90度
又因为角DAB+角ABC=180度(同第二行)
所以角BAN+角ABM=90度所以角APB=90度(同第三行)
所以角MPN=90度(对顶角相等)
同理可证 角MQN=90度
所以四边形PMQN为矩形(三个角是直角的四边形是矩形)