Question

一道初三的数学二次函数题！！

抛物线y = x^2-kx+2的顶点为p ,与x 轴交于A、B两点,若三角形ABP为等腰RT三角形，则k = ?
要过程！最好有思路！

再顺便问下：交点式是怎么推导出来的？
二次函数与X轴的分别交点为A B，AB 长度的公式？及推导过程！
郁闷啊！
没学过伟达定理
还有别的办法不？

Answer 1

与y轴交与点C（0，3），说明c=3
设抛物线与x轴交点的横坐标分别是x1,x2，则据题意（方程ax*2+bx+c=0的两根平方和等于40），有x1^2+x2^2=40,因为x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a,所以x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=b^2/a^2-2c/a=40
将c=3，代入上式，得到方程b^2/a^2-6/a=40,即40a^2+6a-b^2=0
根据经过点（-4，-5），可以得到第二个方程16a-4b+3=-5
连立方程组得到a1=-1/4,a2=2/3(舍去，因为过第四象限，顶点在x轴上方，开口肯定向下)，b=1
综上，抛物线解析式为y=-1/4x^2+x+3

Answer 2

二次函数与X轴交于两点A,B，根据求根公式可以计算出两点的横坐标，两横坐标之差的绝对值便是AB长度
交点式的推导：不知道你学二元一次方程的时候学没学过十字相乘法，其实交点式就是从哪里推导出来的
至于你上面的题目，其解题思路（可能有些东西你没学过，仅供你参考）：先求出顶点坐标，然后再求出与X轴交点的两个坐标，根据两点间距离公式分别表示AP和BP的长度，然后让他俩相等就能接触X的值了。

Answer 3

首先，三角形ABP为等腰直角三角形 那么由函数的性质知道 斜边必为AB(否则不能构成抛物线) 这样你可以画出图了
根据抛物线表达式知 p[k/2,(8-k^2)/2]
p点引垂线交AB于D点，于是由等腰直角三角形得 AB=2AP 即AB^2=4PD^2 (AB^2表示AB的平方) 由p的坐标知 PD^2=(8-k^2)^2/4
这样只要求出 AB^2就有关于k的方程了
设A（X1,0）,B(X2,0)
由韦达定理有
X1+X2=K X1*X2=2
可得 AB^2=(X1-X2)^2=(X1+X2)^2-4X1*X2=K^2-8

接下来自己算了
思路已经很清晰了

x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a就是所谓的韦达定理呀
初三肯定学过的

Answer 4

y= x^2-kx+2=x^2-kx+k^2/4-k^2/4+2=(x-k/2)^2+2-k^2/4
∴p(k/2 ，2-k^2/4)
设A（x1，0），B（x2，0）
∴由韦达定理有x1+x2=k且X1•x2=2……①
又∵三角形ABP为等腰RT三角形
∴∠APB为直角
∴向量AP与向量BP之积为0
∴（k/2-x1）（k/2-x2）+（2--k^2/4) ^2=0……②
又∵△>0得k ^2>8……③
由①、②和③解得：k ^2=12
∴k=正负2√3

因为AB为函数与x轴的交点，所以纵坐标为零，所以设A（x1，0），B（x2，0）
那么AB的长为｜x2-x1｜

当AB为任意两点时，设A（x1，y1），B（x2，y2）
那么AB的长为(x1-x2)^2+(y1-y2)^2的平方根

Answer 5

∵与x 轴交于A、B两点
∴方程有根
∴b^2-4ac>0
∴k^2>8
根据伟达定理得：x1+x2=k,x1*x2=2
∵三角形ABP为等腰RT三角形(设C为AB中点)
∴AB/2=CP
∵AB=|x1-x2|=√(x1+x2)^2-4x1*x2=√k^2-4*2
CP=(4ac-b^2)/4a=(8-k^2)/4
∴(√k^2-8)/2=(8-k^2)/4
∴k=±8

交点式就是知道二次函数y=ax^2+bx+c(a!=0)与x轴的焦点的情况下才可以用的！
与x轴有焦点，就说明有y=0的情况，于是二次函数就变成ax^2+bx+c=0(变成一元二次方程了！) 设方程的解为x1,x2，那么一元二次方程就可以分解为(x-x1)(x-x2)=0
但原来还有一个系数a在一元二次方程中是可以约去的，但是在二次函数中不能约去，所以y=a(x-x1)(x-x2) [交点式]