Question

已知关于x的方程2x^2-(根号3+1)x+m=0的两根为 sin θ,cos θ,θ∈(0,2π)

已知关于x的方程2x^2-(√3+1)x+m=0的两根为 sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)

1)sin^2 θ/(sin θ-cot θ)+cos θ/(1-tan θ) 的值；
(2)求m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值.

Answer 1

下面用a代替θ

由韦达定理
sina+cosa=(√3+1)/2
sinacosa=m/2
(sina)^2+(cosa)^2=1
所以(sina+cosa)^2-2sincosa=1
(2+√3)/2-m=1
m=√3/2

2x^2-(√3+1)x+√3/2=0
(x-√3/2)(2x-1)=0
x=√3/2,x=1/2
若sina=√3/2,cosa=1/2,则a=π/3
若sina=1/2,cosa=√3/2,则a=π/6

若sina=√3/2,cosa=1/2,则tana=√3,cota=1/√3
(sina)^2/(sina-cot)+cosa/(1-tan)=(5√3-1)/4

若sina=1/2,cosa=√3/2,则tana=1/√3,cota=√3
(sina)^2/(sina-cot)+cosa/(1-tan)=(61√3+65)/92

Answer 2

解：关于x的方程2x^2-(根号3+1)x+m=0的两根为 sin θ，cos θ
则 sinθ+cosθ=(√3+1)/2…………（1）
sinθcosθ=m/2………………（2）
(1)sin^2 θ/(sin θ-cos θ) + cos θ/(1-tan θ)
=sin^2 θ/(sin θ-cos θ) - cos^2 θ/(sinθ-cosθ)
=(sin^2 θ-cos^2 θ)/(sin θ-cos θ)
=(sin θ-cos θ)(sin θ+cos θ)/(sin θ-cos θ)
=sin θ+cos θ= (√3+1)/2
(2)将(1)式两边平方得到：
sin^2 θ+cos^2 θ +2sinθcosθ=(1/4)(3+2√3+1)
1+2sinθcosθ=1 + √3/2,
求得 sinθcosθ=√3/4, 根据(2)式 sinθcosθ=m/2
解得 m=√3/2
(3)已经求得 m=√3/2, 方程就变成：2x^2-(√3+1)x+(√3/2)=0
分解为：[2x-1][x-(√3/2)]=0
解得：x1=1/2，x2=√3/2，就是方程两个根。
在 θ∈(0,2π) 的前提下，
如果 sinθ=1/2，则cosθ=√3/2，可得 θ=π/6
如果 sinθ=√3/2，则cosθ=1/2，可得 θ=π/3 。

Answer 3

解：关于x的方程2x^2-(根号3+1)x+m=0的两根为 sin θ，cos θ

则 sinθ+cosθ=(√3+1)/2…………（1）

sinθcosθ=m/2………………（2）

(1)。sin^2 θ/(sin θ-cos θ) + cos θ/(1-tan θ)

= sin^2 θ/(sin θ-cos θ) + cos θ/[1-(sinθ/cosθ)]

=sin^2 θ/(sin θ-cos θ) + cos θ/[(cosθ-sinθ)/cosθ]

=sin^2 θ/(sin θ-cos θ) + cos^2 θ/(cosθ-sinθ)

=sin^2 θ/(sin θ-cos θ) - cos^2 θ/(sinθ-cosθ)

=(sin^2 θ-cos^2 θ)/(sin θ-cos θ)

=(sin θ-cos θ)(sin θ+cos θ)/(sin θ-cos θ)

=sin θ+cos θ= (√3+1)/2

(2)。将(1)式两边平方得到：

sin^2 θ+cos^2 θ +2sinθcosθ=(1/4)(3+2√3+1)

1+2sinθcosθ=1 + √3/2,

求得 sinθcosθ=√3/4, 根据(2)式 sinθcosθ=m/2

解得 m=√3/2

(3)已经求得 m=√3/2, 方程就变成：2x^2-(√3+1)x+(√3/2)=0

分解为：[2x-1][x-(√3/2)]=0

解得：x1=1/2，x2=√3/2，就是方程两个根。

在 θ∈(0,2π) 的前提下，

如果 sinθ=1/2，则cosθ=√3/2，可得 θ=π/6

如果 sinθ=√3/2，则cosθ=1/2，可得 θ=π/3 。