Question

关于概率的一个问题

还是一个古老的关于投硬币正反面的问题。我们投硬币，最多出现13次单的概率是多少分之一，有一个公式是这样的。“博彩基本公式用数学表达式回答了这个问题：N=ln(1-D)/ln(1-p)。博彩基本公式用一个很简单的数学表达式揭示了博彩现象中的内在规律。“我想知道的是13期连出正面，那就是13期正面概率为1/13，我们知道，根据大数定律，期数越多，正面的概率也就会越来越趋向于1/2。既然我们可以算出N=ln(1-D)/ln(1-p)。这个博彩基本公式。我这样理解，1期开出正，2至14期为负，14期时下面概率为1/14，15期开出正，这时正的概率为2/15。随着期数的加大，那么这个概率越来越趋向于1/2。那我们可不可以知道当期数越来越大时，这个概率对于期数的最大值呢？恳请知道的朋友回答。谢谢。

Answer 1

1、根据二项式概率公式，在m次内出现n次正面的概率是
P=C[m,n]*0.5^m
要求这个概率最大，数学上可以得到 n=m/2,或者m=2n，或者n/m=1/2
这结论表示，“正反面数量相等”的概率最大。
2、正反面出现的概率是相等的，或者说正面的概率是1/2，概率可以看成是无限次试验得到的频率值。概率是固定的极限值，没有变化。变化的是频率。
3、频率在试验次数非常少的情况下有较大的波动，而在试验次数非常多的情况下有较小的波动，比如100次内出现80次正面的可能性要比10次出现8次的可能性小得多（虽然频率都是0.8),因此随着次数增加，频率偏离概率的幅度会减小:
10次内正面频率为0.8的概率，就是P(10, 0.8)=C[10,0.8*10]*0.5^10=0.044
1000次正面频率为0.8的概率，就是P(100,0.8)=C[100,0.8*100]*0.5^100=4.23e-10
4、m期内出现多少次正面，概率最大的呢？其实就是当“频率=概率”时。因为概率=1/2，根据 n/m=概率=1/2 有，n=m/2。6期正面的概率如下（用上式计算）：
6期0次正面:P=0.016
6期1次正面:P=0.094
6期2次正面:P=0.234
6期3次正面:P=0.313
6期4次正面:P=0.234
6期5次正面:P=0.094
6期6次正面:P=0.016
P的合计=1

Answer 2

有两个概念要先清楚一下，概率和频率，其实你上文说的更多的是频率，“1期开出正，2至14期为负，14期时下面概率为1/14，15期开出正，这时正的概率为2/15。”这里提到的是频率的概念。
“那么这个概率越来越趋向于1/2。”提到的概率也是频率的概念，后面的1/2是概率的概念。
概率是客观的，不会改变的。频率则是根据试验结果有关，是可变的，可以这么理解，在试验次数趋于无穷大的时候，频率的极限就是概率。

“那我们可不可以知道当期数越来越大时，这个概率对于期数的最大值呢？”
现在应该清楚可以不可以这么理解了吧，概率可以认为是频率的极限，不能认为是最大值，因为频率显然可以超过概率。