Question

在三角形ABC中,AD,BE分别为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB于F,交BE于G,交AC延长线于H，求证：DF*DF=FG*F

Answer 1

证：DF*DF=FG*FH

因为 BE垂直AH
所以 角ABE+角BAC=90度
因为 FH垂直AB
所以 角H+角BAC=90度
所以 角ABE=角H
因为 FH垂直AB
所以 角BFG=角HFA=90度
因为 角ABE=角H，角BFG=角HFA
所以 三角形BFG相似于三角形HFA
所以 BF/FG=FH/FA
所以 FG*FH=BF*FA

因为 DF垂直AB，AD垂直BC
所以 角DFB=角ADB=90度
因为 角DBF=角ABD
所以 三角形DBF相似于三角形ABD
所以 DF/BF=FA/DF
所以 DF*DF=BF*FA
因为 FG*FH=BF*FA
所以 DF*DF=FG*FH

Answer 2

∵DF⊥AB,∠ABE=90°-∠BAC=∠H
∴△BFG∽△HFA
∴BF/FH=FG/AF
∴FG*FH=BF*AF---------(1)

∵DF⊥AB,AD⊥BC
∴△DBF∽△ADF
∴DF/AF=BF/DF
∴DF*DF=BF*AF---------(2)

由(1)(2)式，可看出：
DF*DF=FG*FH