问一个高等数学的问题。。。
设f''(x)存在，求证lim(h→0)[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2=f''(x)...
设f''(x)存在，求证 lim(h→0) [f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2=f''(x)
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使用一次洛必达法则，再使用导数的定义
lim(h→0) [f(x+2h)－2f(x+h)＋f(x)]/h^2
＝lim(h→0) [2f'(x+2h)－2f'(x+h)]/(2h)
＝lim(h→0) [f'(x+2h)－f'(x+h)]/h
＝lim(h→0) ｛2×[f'(x+2h)－f'(x)]/(2h)－[f'(x+h)－f'(x)]/h｝
＝2×lim(h→0)[f'(x+2h)－f'(x)]/(2h)－lim(h→0)[f'(x+h)－f'(x)]/h
＝2×f''(x)－f''(x)
＝f''(x)
lim(h→0) [f(x+2h)－2f(x+h)＋f(x)]/h^2
＝lim(h→0) [2f'(x+2h)－2f'(x+h)]/(2h)
＝lim(h→0) [f'(x+2h)－f'(x+h)]/h
＝lim(h→0) ｛2×[f'(x+2h)－f'(x)]/(2h)－[f'(x+h)－f'(x)]/h｝
＝2×lim(h→0)[f'(x+2h)－f'(x)]/(2h)－lim(h→0)[f'(x+h)－f'(x)]/h
＝2×f''(x)－f''(x)
＝f''(x)
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因为f''(x)存在
即f'(x)也存在
所以f''(x)=lim(h→0) [f'(x+h)-f'(x)]/h
又因为f'(x)=lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h
所以f''(x)=lim(h→0) [f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2
即f'(x)也存在
所以f''(x)=lim(h→0) [f'(x+h)-f'(x)]/h
又因为f'(x)=lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h
所以f''(x)=lim(h→0) [f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2
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lim(h→0) [f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2
=lim(h→0){[f(x+2h)-f(x+h)]/h-[f(x+h)+f(x)]/h}/h
=lim(h→0)[f'(x+h)-f'(x)]/h=f''(x)
=lim(h→0){[f(x+2h)-f(x+h)]/h-[f(x+h)+f(x)]/h}/h
=lim(h→0)[f'(x+h)-f'(x)]/h=f''(x)
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