Question

一道初三相似三角形的数学问题

如图，矩形ABCD中，AB=根号6，AD=5，在AD上是否存在一点P，使∠BPC=90°？如果存在，试求出AP的长；若不存在，请说明理由。
图：http://pic.wenwen.soso.com/p/20081126/orig-20081126221947-69849839.jpg

Answer 1

设有点P为所求，则有AP的平方＋BC的平方＝BP的平方；DP的平方＋CD的平方＝PC的平方；BP的平方＋CP的平方＝BC的平方，而BC＝AD＝AP＋PD
若设AP＝X，则DP＝5－X，故可列出等式：
（X的平方＋6）＋〔（5－X）的平方＋6〕＝25
解这个方程得X＝2或X＝3，
方程有解，即AP＝2 或AP＝3为所求

Answer 2

设PD=x，则由勾股定理求出PC=√x2+6.然后由三角形相似定理得出：PD/PC=PC/BC，代入数据，就可以求出x了。

Answer 3

解设：AP为x ，则 PD=5-x。

PB2 = AB2 +AP2 = x2 + 6 ,

PC2= PD2 + CD2 =(5-X)2 + 6

假设∠BPC=90°则：AD2 =PB2 +PC2

x2 + 6 + (5-X)2 + 6 = 25

整理得： (x-3)(x-2) =0

∴AP=3或AP=2

注明：（本题用相似也可以求出，两种方法）