Question

已知函数f(x)=根号(x^2+1)-ax,a>0

已知函数f(x)=根号(x^2+1)-ax,a>0
1.求证:a=1时,f(x)在R上是减函数
2.求实数a的取值范围，使f(x)在R+上是单调函数

Answer 1

1.
y′=x/√(x^2+1)-1,
当x≤0时,显然y′<0.
当x>0时,0<x/√(x^2+1)<1,①
也有y′<0,
∴f(x)在R上是减函数.
2.
y′=x/√(x^2+1)-a,a>0.
要使f(x)在R+上是单调函数,
只要y′>0或y′<0在R+上恒成立.(下同)
若要y′<0恒成立,
则只要x/√(x^2+1)-a<0恒成立.
而在R+上,由①,
-a<x/√(x^2+1)-a<1-a,
∴1-a≤0,
即a≥1时,
在R+上y′<0恒成立,
f(x)在R+上是减函数.
在R+上y′>0不可能恒成立.
∴实数a的取值范围[1,＋∞).

Answer 2

f'(x)=x/根号（x^2+1）-1<1-1=0
所以f(x)在R上是减函数
2.f'(x)=x/根号（x^2+1）-a，所以当a<=1时，f(x)在R+上是单调减函数