Question

定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)是区间(0,正无穷)上的递增函数

(1)求：f(1),f(-1)的值
(2)求证：f(-x)=f(x)
（3）解不等式f(2)+f(x-1/2)<=0

Answer 1

（1）f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)因此f(1)=0
f(1)=f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)因此f(-1)=0
(2）f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x)
(3)
f(x)是区间(0,正无穷)上的递增函数,又根据第（2）步知道f(x)为偶函数，根据第（1）步知道f(1)=0，因此f(x)在【-1,0)和(0,1】上是0或负值
因此f(2)+f(x-1/2)=f(2*(x-1/2))=f(2x-1)<=0
等价于0<2x-1<=1,或者-1<=2x-1<0
因此不等式的解为
0<=x<=1,且x不等于1/2

Answer 2

(1)取x=y=1得f(1)=0，再去x=y=-1得f(-1)=0。
(2)f(x^2)=2*f(x)=2*f(-x)即得。
(3)由单调性，f(2)+f(x-1/2)=f(2x-1)<=0等价于0<|2x-1|<=1，于是0<=x<=1且x<>1/2。

Answer 3

bvm