什么叫几何思维能力
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数学思维能力，就是在数学思维活动中，直接影响着该活动效率，使活动得以顺利完成的个体稳定的心理特征。数学思维能力是数学能力的一个重要因素。
数学思维能力，受到个体数学概括水平、抽象水平及推理水平等因素的影响，因此数学思维能力的主要成分应包括数学概括能力、逻辑思维能力、直觉思维能力、数学问题解决能力以及数学创造性思维能力等要素。数学思维能力的培养，应注重对各个思维能力成分的专项训练，注意培养学生良好的思维品质，同时兼顾诸能力的协同发展。下面分别论述。
一、数学思维能力单因素的培养途径
1．数学概括能力的培养
概括是一种思维过程，它包括两种意义：①指在思想上把具有相同的本质特性的事物联合起来；②指把被研究对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的同类事物的本质特性。数学概括能力是在数学活动中表现出来的概括能力，即概括数学对象、数量关系和空间形式的能力。
在教学中，首先要加强学生对概念、命题的概括能力训练。通过具体实例，在分析、综合、抽象的基础上概括出概念的本质属性，是培养学生概括能力的有效手段。譬如，函数、映射等概念的教学，都可以充分地展示概念的概括过程。同样，命题教学也是培养学生概括能力的重要场所。一个数学命题的产生不是孤立的、偶然的，它必然与某些概念、命题之间存在一定的关系，有其产生的背景。定理、公式往往又是一类问题中具有代表性、统摄程度高的问题，而把诸多问题的共同属性抽象出来，形成定理或公式，这就需要一定的概括能力。因此，命题教学中应注重由特殊到一般的概括过程，如韦达定理、二项式定理、和角公式等命题的教学，都可以进行从特殊到一般的概括。
其次，要培养学生对模式和方法的概括能力。从现实问题中概括出具体的数学模型，例如，列方程或不等式解应用问题，用排列或组合解应用问题等，就是一种模式概括。另外，数学问题的解决也存在不同的模式，概括一个问题的多种解题模式，找出模式之间的联系，对培养学生的概括能力是十分有益的。在学完一节、一章的内容之后，可以进行知识体系、解题程序和解题方法的概括，例如，“因式分解”的方法可概括为“一提、二公、三分组”，它既包括了因式分解的三种方法，又揭示了应用时的程序。关于函数研究的一般顺序可概括为：定义→对应法则→定义域→值域→图象→性质→应用，这样就明确了研究函数的基本程序和方法。要注意的是，应当在教师引导下，更多地让学生自己去概括，这样才能提高和发展学生的概括能力。
2．直觉思维能力的培养
直觉思维与逻辑思维是数学思维的两种互补形式，直觉思维的培养应与逻辑思维培养结合起来进行。
在教学中，教师要引导学生寻找和发现事物的内在联系，发现隐蔽关系，对各种信息综合考察，作出直觉的想象和判断。一般说来，类比能启发直觉，直观的背景材料也能激发直觉思维。
分析 首先通过观察，发现它与|a＋b|≤|a|＋|b|形状相似，于是直
＜0。解得x＞7。
例2 已知：ai∈(0，1)，i=1，2，…，n，求证：当n＞1
分析 先将问题特殊化，取n=2，欲证1-a1a2＜(1-a1)＋(1-a2)。观察1-a1a2，直觉想象该式与图形的面积有关，事实上单位正方形的面积减去长、宽分别为a1、a2的矩形面积恰为1-a1a2。于是构造图8－6(左)。观察图中可得1-a1a2=1-a1＋(1-a2)a1，而0＜a1＜1，所以1-a1a2＜(1-a1)＋(1-a2)。
再考察n=3的情形，将1-a1a2a3视为单位立方体的体积减去长、宽、高分别为a1、a2、a3的立方体体积，如图8－6(右)，得1-a1a2a3=1-a1＋(1-a2)a1＋(1-a3)a1a2，而0＜a1，a2＜1，所以1-a1a2a3＜(1-a1)＋(1-a2)＋(1-a3)。
对于一般情形，虽然失去了几何原形，但凭直觉可以猜想上述的解题方法具有一般性，事实上，1-a1=1-a1，(1-a2)a1＜1-a2，(1-a3)a1a2＜1-a3，…，(1-an)a1a2…an-1＜1-an。诸式相加即得1-a1a2…
另外，注重追求数学本身的美，如对称、和谐、简洁、奇异、统一等，往往可以在对美感的追求中产生顿悟，这不仅对数学研究有重要的方法论意义，而且对学习数学，培养学生的数学直觉思维能力也有积极的促进作用。
3．数学问题解决及创造性思维能力的培养
首先，要培养学生发现和探索数学问题的能力，包括从现实生活中抽象和概括出数学模型，以及在数学自身体系中去发现新的数学问题。教学中应使学生学好基础知识，掌握基本的解题模式和方法，形成必要的解题技能。教师应给学生讲授一些必要的数学方法，如一般化与特殊化、类比与猜想等。使学生掌握一定的探索数学问题的工具。同时，还要注意训练学生的逆向思维和发散思维，这是创造性思维中最活跃的要素。
其次，要培养学生评价数学问题、推广和综合数学问题的能力。题目解完后，应对题目进行反思，思考自己的解法是否最优？其解法是否具有普遍意义？问题本身是否具有推广价值？将条件减弱或加强能得到怎样的结论、逆命题是否成立等。例如，当等比数列的前n项和公式推导出来后，应对其推导方法作回顾，发现这种方法不仅能解决等比数列的求和，而且还能解决诸如｛anbn｝(其中｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列)等数列的求和问题。
综合数学问题指能够辨别数学知识之间的差异，找出知识之间的联系，形成概念体系、命题体系和方法体系。例如，在学完等差数列和等比数列的内容之后，可以引导学生思考：能否用一个关系式将这两种数列合为一体？经过分析后发现可以做到。设an＋1=Aan＋B(其中A、B为常数，n≥2)，当A=1时为等差数列，当A≠0，B=0时为等比数列。进而再引导学习思考：是否可以求出这个数列的通项及求和公式？若能办到，岂不是就找到了等差、等比数列通项及求和的统一公式了吗？于是采用新的方法，将这个问题彻底解决。
推广数学问题，对于培养学生的创造性思维能力是十分有益的，教师应适时、适当地开展这项工作，充分利用课本中的例、习题、引导学生去挖掘和拓广数学问题。
例3 如图8－7，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，F
引导学生思考，因AB=AC，AD⊥BC与D是BC的中点，三个条件是“三线合一”定理，因此可以通过“换位”构造新命题。
命题1：D为△ABC中BC边中点，F为AD的中点，CF的延长
再将特殊点D和F一般化，得如下推广命题。
命题4：在△ABC中，D为BC上一点，F为AD上一点，且
二、数学思维品质的培养途径
培养学生的数学思维品质，就是从提高数学思维的质量方面去发展数学思维能力。思维品质是个体发展水平的一个重要方面，加强思维品质的训练对提高数学思维能力有重要的促进作用。
1．要展示数学思维的活动过程
传统的数学教学注重数学的结果教学，即以知识和已有的数学结论为中心，目的是让学生学习和掌握系统的数学知识，忽视数学知识本身的产生和发展过程。现代数学教学观则强调数学的思维活动教学，数学教学不仅要反映数学活动的结果——理论，而且还要反映这些理论的形成发展以及思维的活动过程。
数学教材所表现的是经过逻辑加工后的数学理论体系，呈现为概念——定理(公式、法则)——例题(习题)的纯数学系统，而没有揭示概念的发展、定理的发现、证明思路的猜测和证明方法的探索等过程，这事实上在一定程度上颠倒了数学发现的过程，掩盖、淹没了数学发现、数学创造和数学应用的思维活动。如果教师在教学中照本宣科，把教材内容原样地灌给学生，这无疑将会抑制学生的探索、发现、创新思想，阻碍学生思维的发展和能力的提高。因此在教学中，教师要精心组织教学内容，将凝结于教材中的思维活动展开，把演绎体系背后存在的大量丰富内容挖掘出来，为学生创设问题情景，引起认知冲突，构建知识体系。
概念教学中，要充分揭示概念的产生、抽象和概括过程。公式、法则、性质、定理的教学，要努力暴露出规律被发现的过程及证明思路的探索过程，找出命题之间的联系，形成命题体系，这对于培养思维的深刻性是十分有益的。例如，讲述圆幂定理时，可以通过图8－8的一组图形，启发学生从运动、变化的观点去发现问题，这样便依次可得到相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，同时又找出了诸定理证明的统一的方法。
例题、习题的教学是培养思维品质的良好场所，教师应侧重揭示方法的探索和方法的选择过程，暴露思维活动，起到引路指津的作用，而不是越俎代庖。习题的选择要在运用知识的广度、思维训练的强度、发展智能的效度等多方位的全面考虑。培养思维的深刻性、灵活性、敏捷性常采用一题多解的方法，培养思维的独创性、批判性则可采用一题多变的方式进行。
2．要使学生掌握必须的数学思维方法
前面介绍了常见的几种数学思维方法，在教学中，教师应努力做到使学生掌握这些思维方法，不能理解和灵活地运用数学思维方法，就谈不上思维品质的优化。
首先，掌握数学思维方法应有一个思维定向训练过程，即训练学生在遇到新问题时，善于识别问题的特征，准确地将其归结为某种数学模型，尽快地明确解题思路，选择解题方法。例如，解方程的基本思路是通过消元或降次去实现化归；平面几何中证明直线共点和点共线问题，一般采用解析方法处理；立体几何中求异面直线间的距离以及线面、面面间的距离，一般总是将其转化为求点线、点面的距离等。
其次，思维技能的训练也是一个不可缺少的环节。思维技能形成的标志是动作或心智活动的熟练化，而心智技能形成又主要表现在思维的敏捷性、思维的广度与深刻性等品质方面。技能的形成要通过一定的反复练习，但不能局限于呆板的机械操作，应有意识地突出技能训练中的思维成分。譬如，解一元二次方程，除了掌握求根公式外，还应训练学生如何通过观察、判断来实施操作，迅速地选取合适的方法求解。
例如，解下列方程：
(1)18x2-33x＋15=0；
(2)(1992x)2-1991×1993x-1=0；
这些方程分别有1或-1的根，若能通过观察发现这个根，则另一根就很容易求出。
使学生掌握必须的数学思维方法，还必须处理好各种思维方法的辩证关系，不可厚此薄彼，对于演绎与归纳、逻辑思维与直觉思维、证明与反驳等等，都不应过份强调一种思维方法的重要性而忽视另一方面的作用。单一的思维方式不利于思维品质的提高，而且还会形成思维的定势，阻碍思维能力的发展。
三、数学思维能力诸因素的协同发展
数学思维能力的提高，受到其各因素成分的发展制约，整体数学思维能力的健全是各构成因素协同发展的结果。因而，培养和训练协同发展各能力因素是培养数学思维能力的有效途径。
1．各能力因素的培养应在相应的思维活动中进行
前面已经讨论了暴露思维过程在思维品质培养方面的作用，更具体地说，各能力因素的培养，应在相应的思维活动中进行，各种思维方式有不同的活动情境，产生不同的功能。各种思维方法之间相互渗透，各种思维能力因素相互联系、互为作用，正确处理好部分的功能就最大限度地提高整体的功能。因此要掌握数? �嘉�疃�媛桑�诓煌�乃嘉�疃�醒盗废嘤Φ乃嘉�?span lang="EN-US">
数学思维活动可以看作是按下述模式进行的。①经验材料的数学组织化，即借助于观察、实验、归纳、类比、概括积累事实材料；②数学材料(在①阶段活动中积累的)的逻辑组织化，即由积累材料中抽象出原始概念和公理体系，并在这些概念和体系的基础上演绎出理论；③数学理论(在②阶段中建立的)的应用。显然，数学思维活动的各阶段有各自的活动特点和规律，数学思维能力的各因素应在活动过程中居于各自相应的位置得到发展，在教学中应充分认识三个阶段的重要性。
2．各能力因素的培养应在不同的教学阶段中进行
中学数学分为许多科目，每一科目又可分为若干分支，所以培养需耐心和新颖
数学思维能力，受到个体数学概括水平、抽象水平及推理水平等因素的影响，因此数学思维能力的主要成分应包括数学概括能力、逻辑思维能力、直觉思维能力、数学问题解决能力以及数学创造性思维能力等要素。数学思维能力的培养，应注重对各个思维能力成分的专项训练，注意培养学生良好的思维品质，同时兼顾诸能力的协同发展。下面分别论述。
一、数学思维能力单因素的培养途径
1．数学概括能力的培养
概括是一种思维过程，它包括两种意义：①指在思想上把具有相同的本质特性的事物联合起来；②指把被研究对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的同类事物的本质特性。数学概括能力是在数学活动中表现出来的概括能力，即概括数学对象、数量关系和空间形式的能力。
在教学中，首先要加强学生对概念、命题的概括能力训练。通过具体实例，在分析、综合、抽象的基础上概括出概念的本质属性，是培养学生概括能力的有效手段。譬如，函数、映射等概念的教学，都可以充分地展示概念的概括过程。同样，命题教学也是培养学生概括能力的重要场所。一个数学命题的产生不是孤立的、偶然的，它必然与某些概念、命题之间存在一定的关系，有其产生的背景。定理、公式往往又是一类问题中具有代表性、统摄程度高的问题，而把诸多问题的共同属性抽象出来，形成定理或公式，这就需要一定的概括能力。因此，命题教学中应注重由特殊到一般的概括过程，如韦达定理、二项式定理、和角公式等命题的教学，都可以进行从特殊到一般的概括。
其次，要培养学生对模式和方法的概括能力。从现实问题中概括出具体的数学模型，例如，列方程或不等式解应用问题，用排列或组合解应用问题等，就是一种模式概括。另外，数学问题的解决也存在不同的模式，概括一个问题的多种解题模式，找出模式之间的联系，对培养学生的概括能力是十分有益的。在学完一节、一章的内容之后，可以进行知识体系、解题程序和解题方法的概括，例如，“因式分解”的方法可概括为“一提、二公、三分组”，它既包括了因式分解的三种方法，又揭示了应用时的程序。关于函数研究的一般顺序可概括为：定义→对应法则→定义域→值域→图象→性质→应用，这样就明确了研究函数的基本程序和方法。要注意的是，应当在教师引导下，更多地让学生自己去概括，这样才能提高和发展学生的概括能力。
2．直觉思维能力的培养
直觉思维与逻辑思维是数学思维的两种互补形式，直觉思维的培养应与逻辑思维培养结合起来进行。
在教学中，教师要引导学生寻找和发现事物的内在联系，发现隐蔽关系，对各种信息综合考察，作出直觉的想象和判断。一般说来，类比能启发直觉，直观的背景材料也能激发直觉思维。
分析 首先通过观察，发现它与|a＋b|≤|a|＋|b|形状相似，于是直
＜0。解得x＞7。
例2 已知：ai∈(0，1)，i=1，2，…，n，求证：当n＞1
分析 先将问题特殊化，取n=2，欲证1-a1a2＜(1-a1)＋(1-a2)。观察1-a1a2，直觉想象该式与图形的面积有关，事实上单位正方形的面积减去长、宽分别为a1、a2的矩形面积恰为1-a1a2。于是构造图8－6(左)。观察图中可得1-a1a2=1-a1＋(1-a2)a1，而0＜a1＜1，所以1-a1a2＜(1-a1)＋(1-a2)。
再考察n=3的情形，将1-a1a2a3视为单位立方体的体积减去长、宽、高分别为a1、a2、a3的立方体体积，如图8－6(右)，得1-a1a2a3=1-a1＋(1-a2)a1＋(1-a3)a1a2，而0＜a1，a2＜1，所以1-a1a2a3＜(1-a1)＋(1-a2)＋(1-a3)。
对于一般情形，虽然失去了几何原形，但凭直觉可以猜想上述的解题方法具有一般性，事实上，1-a1=1-a1，(1-a2)a1＜1-a2，(1-a3)a1a2＜1-a3，…，(1-an)a1a2…an-1＜1-an。诸式相加即得1-a1a2…
另外，注重追求数学本身的美，如对称、和谐、简洁、奇异、统一等，往往可以在对美感的追求中产生顿悟，这不仅对数学研究有重要的方法论意义，而且对学习数学，培养学生的数学直觉思维能力也有积极的促进作用。
3．数学问题解决及创造性思维能力的培养
首先，要培养学生发现和探索数学问题的能力，包括从现实生活中抽象和概括出数学模型，以及在数学自身体系中去发现新的数学问题。教学中应使学生学好基础知识，掌握基本的解题模式和方法，形成必要的解题技能。教师应给学生讲授一些必要的数学方法，如一般化与特殊化、类比与猜想等。使学生掌握一定的探索数学问题的工具。同时，还要注意训练学生的逆向思维和发散思维，这是创造性思维中最活跃的要素。
其次，要培养学生评价数学问题、推广和综合数学问题的能力。题目解完后，应对题目进行反思，思考自己的解法是否最优？其解法是否具有普遍意义？问题本身是否具有推广价值？将条件减弱或加强能得到怎样的结论、逆命题是否成立等。例如，当等比数列的前n项和公式推导出来后，应对其推导方法作回顾，发现这种方法不仅能解决等比数列的求和，而且还能解决诸如｛anbn｝(其中｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列)等数列的求和问题。
综合数学问题指能够辨别数学知识之间的差异，找出知识之间的联系，形成概念体系、命题体系和方法体系。例如，在学完等差数列和等比数列的内容之后，可以引导学生思考：能否用一个关系式将这两种数列合为一体？经过分析后发现可以做到。设an＋1=Aan＋B(其中A、B为常数，n≥2)，当A=1时为等差数列，当A≠0，B=0时为等比数列。进而再引导学习思考：是否可以求出这个数列的通项及求和公式？若能办到，岂不是就找到了等差、等比数列通项及求和的统一公式了吗？于是采用新的方法，将这个问题彻底解决。
推广数学问题，对于培养学生的创造性思维能力是十分有益的，教师应适时、适当地开展这项工作，充分利用课本中的例、习题、引导学生去挖掘和拓广数学问题。
例3 如图8－7，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，F
引导学生思考，因AB=AC，AD⊥BC与D是BC的中点，三个条件是“三线合一”定理，因此可以通过“换位”构造新命题。
命题1：D为△ABC中BC边中点，F为AD的中点，CF的延长
再将特殊点D和F一般化，得如下推广命题。
命题4：在△ABC中，D为BC上一点，F为AD上一点，且
二、数学思维品质的培养途径
培养学生的数学思维品质，就是从提高数学思维的质量方面去发展数学思维能力。思维品质是个体发展水平的一个重要方面，加强思维品质的训练对提高数学思维能力有重要的促进作用。
1．要展示数学思维的活动过程
传统的数学教学注重数学的结果教学，即以知识和已有的数学结论为中心，目的是让学生学习和掌握系统的数学知识，忽视数学知识本身的产生和发展过程。现代数学教学观则强调数学的思维活动教学，数学教学不仅要反映数学活动的结果——理论，而且还要反映这些理论的形成发展以及思维的活动过程。
数学教材所表现的是经过逻辑加工后的数学理论体系，呈现为概念——定理(公式、法则)——例题(习题)的纯数学系统，而没有揭示概念的发展、定理的发现、证明思路的猜测和证明方法的探索等过程，这事实上在一定程度上颠倒了数学发现的过程，掩盖、淹没了数学发现、数学创造和数学应用的思维活动。如果教师在教学中照本宣科，把教材内容原样地灌给学生，这无疑将会抑制学生的探索、发现、创新思想，阻碍学生思维的发展和能力的提高。因此在教学中，教师要精心组织教学内容，将凝结于教材中的思维活动展开，把演绎体系背后存在的大量丰富内容挖掘出来，为学生创设问题情景，引起认知冲突，构建知识体系。
概念教学中，要充分揭示概念的产生、抽象和概括过程。公式、法则、性质、定理的教学，要努力暴露出规律被发现的过程及证明思路的探索过程，找出命题之间的联系，形成命题体系，这对于培养思维的深刻性是十分有益的。例如，讲述圆幂定理时，可以通过图8－8的一组图形，启发学生从运动、变化的观点去发现问题，这样便依次可得到相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，同时又找出了诸定理证明的统一的方法。
例题、习题的教学是培养思维品质的良好场所，教师应侧重揭示方法的探索和方法的选择过程，暴露思维活动，起到引路指津的作用，而不是越俎代庖。习题的选择要在运用知识的广度、思维训练的强度、发展智能的效度等多方位的全面考虑。培养思维的深刻性、灵活性、敏捷性常采用一题多解的方法，培养思维的独创性、批判性则可采用一题多变的方式进行。
2．要使学生掌握必须的数学思维方法
前面介绍了常见的几种数学思维方法，在教学中，教师应努力做到使学生掌握这些思维方法，不能理解和灵活地运用数学思维方法，就谈不上思维品质的优化。
首先，掌握数学思维方法应有一个思维定向训练过程，即训练学生在遇到新问题时，善于识别问题的特征，准确地将其归结为某种数学模型，尽快地明确解题思路，选择解题方法。例如，解方程的基本思路是通过消元或降次去实现化归；平面几何中证明直线共点和点共线问题，一般采用解析方法处理；立体几何中求异面直线间的距离以及线面、面面间的距离，一般总是将其转化为求点线、点面的距离等。
其次，思维技能的训练也是一个不可缺少的环节。思维技能形成的标志是动作或心智活动的熟练化，而心智技能形成又主要表现在思维的敏捷性、思维的广度与深刻性等品质方面。技能的形成要通过一定的反复练习，但不能局限于呆板的机械操作，应有意识地突出技能训练中的思维成分。譬如，解一元二次方程，除了掌握求根公式外，还应训练学生如何通过观察、判断来实施操作，迅速地选取合适的方法求解。
例如，解下列方程：
(1)18x2-33x＋15=0；
(2)(1992x)2-1991×1993x-1=0；
这些方程分别有1或-1的根，若能通过观察发现这个根，则另一根就很容易求出。
使学生掌握必须的数学思维方法，还必须处理好各种思维方法的辩证关系，不可厚此薄彼，对于演绎与归纳、逻辑思维与直觉思维、证明与反驳等等，都不应过份强调一种思维方法的重要性而忽视另一方面的作用。单一的思维方式不利于思维品质的提高，而且还会形成思维的定势，阻碍思维能力的发展。
三、数学思维能力诸因素的协同发展
数学思维能力的提高，受到其各因素成分的发展制约，整体数学思维能力的健全是各构成因素协同发展的结果。因而，培养和训练协同发展各能力因素是培养数学思维能力的有效途径。
1．各能力因素的培养应在相应的思维活动中进行
前面已经讨论了暴露思维过程在思维品质培养方面的作用，更具体地说，各能力因素的培养，应在相应的思维活动中进行，各种思维方式有不同的活动情境，产生不同的功能。各种思维方法之间相互渗透，各种思维能力因素相互联系、互为作用，正确处理好部分的功能就最大限度地提高整体的功能。因此要掌握数? �嘉�疃�媛桑�诓煌�乃嘉�疃�醒盗废嘤Φ乃嘉�?span lang="EN-US">
数学思维活动可以看作是按下述模式进行的。①经验材料的数学组织化，即借助于观察、实验、归纳、类比、概括积累事实材料；②数学材料(在①阶段活动中积累的)的逻辑组织化，即由积累材料中抽象出原始概念和公理体系，并在这些概念和体系的基础上演绎出理论；③数学理论(在②阶段中建立的)的应用。显然，数学思维活动的各阶段有各自的活动特点和规律，数学思维能力的各因素应在活动过程中居于各自相应的位置得到发展，在教学中应充分认识三个阶段的重要性。
2．各能力因素的培养应在不同的教学阶段中进行
中学数学分为许多科目，每一科目又可分为若干分支，所以培养需耐心和新颖
参考资料： 数学教育第五章（有节选删改）
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