Question

9年级下学期“实际问题与二次函数”

如图，点E、F、G、H分别位于边长为2CM的正方形ABCD的四条边上，且四边形EFGH也是正方形。问：当点E位于何处时，正方形EFGH的面积S(CM平方）最小？最小面积是多少CM平方？（各位大虾帮帮忙吧，，，，请吧过程写出来，详细点好吗？）小女子不甚感激

Answer 1

解：（假设 E 在 AD 边上，F 在 AB 边上，其余类推）
第一步：证明三角形AFE、BFG、CGH、DHE彼此全等。
证明：因为EFGH为正方形，故 EF = FG = GH = HE ；
角AEF与角DEH互余，角AEF又与角AFE互余，因此 角AFE = 角DEH ；
在三角形AFE和三角形DEH中，
EF = HE;
角AFE = 角DEH;
角A = 角D =90度；
所以三角形AFE和三角形DEH全等。
同理三角形AFE、BFG、CGH、DHE彼此全等。
第二步：设 EA 长度为 x （厘米），则 FB = EA = x;
AF = AB - FB = 2 - x;
由勾股定理，
EF^2 = AE^2 + AF^2 = x^2 + (2-x)^2 = 2x^2 - 4x + 4;....(1)
注意 EF^2 就是正方形EFGH的面积S。
(1)式首项系数大于0，
则取最小值时必然在 x = - b/2a = - (-4)/2*2 = 1 处。
由此E位于AB 中点时，正方形EFGH的面积S(CM平方）最小，以 x = 1带入
（1）式，得到最小面积是 2 * 1^2 - 4 * 1 + 4 = 2 ( CM平方 ）
证毕。