Question

同样体积的物体，是不是球状表面积最小？为什么？

Answer 1

是
通过数学运算能够得到这个结论。这要用到高等数学里面的东西，证明比较复杂。
实际上生活中就有这类例子：天然气工厂的储气罐都被设计成球状，还有一个有意思的研究，生活在地球上维度越高的动物，其身体外形越接近球体，看看企鹅，北极熊...再看看赤道附近的动物，原因就是一个物体的外形越接近球体，它的表面积越小。严寒地带的动物就是在进化的过程中不断减小“表面积”来减少身体对外散热来生存。

Answer 2

是的。

V0=4πR³/3
S0=4πR²

V=a³
S=6a²

S0/V0=3/R

S/V=6/a

V0=V
a³=4πR³/3
a=R(4π/3)^(1/3)→S/V=6/a=6/[R(4π/3)^(1/3)]

∵(4π/3)^(1/3)<2
∴S/V=6/[R(4π/3)^(1/3)]>3/R

∴S/V>S0/V0
即，在等体积的情况下，正方体的比表面积大于球体的比表面积。

严谨的证明比较复杂。