向量的点乘和叉乘的区别.详细点.高手进 20
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1、表示意义不同:
点乘是向量的内积。
叉乘是向量的外积。
2、结果单位不同:
点乘,结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一个标量。
叉乘,也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。
3、计算方法不同:
点乘,公式:a * b = |a| * |b| * cosθ
叉乘,公式:a ∧ b = |a| * |b| * sinθ
扩展资料
点乘又叫向量的内积、数量积,是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积。
该定义只对二维和三维空间有效。
这个运算可以简单地理解为:
在点积运算中,第一个向量投影到第二个向量上(这里,向量的顺序是不重要的,点积运算是可交换的),然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。
这样,这个分数一定是小于等于1的,可以简单地转化成一个角度值。
叉乘的几何意义及其运用
叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。
据此有:混合积[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。
参考资料
昇非
2024-10-23 广告
2024-10-23 广告
昇非一体化产业园是深耕非洲的工业生态系统开发商和运营商,通过吸引各国下游增值产业进入非洲大陆,将非洲现有的自然资源供应链转型为可持续高附加值的商品供应链,为非洲人民以及投资企业创造稳健长久的福祉。...
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用"*"表示点乘符号,(a,b)表示向量a与向量b的夹角
向量的点乘积是一个数
a*b=|a|×|b|×coc(a,b)
向量的叉乘积是一个向量,它的模是
|a×b|=|a|×|b|×sin(a,b)
它的方向按右手定则判定:弯曲右手手掌(称赞别人时所做的动作),拇指向外,另外四指弯曲的方向与从a到b的转角方向相同,拇指所指的方向即是a×b的方向.
向量的点乘积是一个数
a*b=|a|×|b|×coc(a,b)
向量的叉乘积是一个向量,它的模是
|a×b|=|a|×|b|×sin(a,b)
它的方向按右手定则判定:弯曲右手手掌(称赞别人时所做的动作),拇指向外,另外四指弯曲的方向与从a到b的转角方向相同,拇指所指的方向即是a×b的方向.
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向量的点乘积是一个数
a*b=|a|×|b|×coc(a,b)
向量的叉乘积是一个向量,它的模是
|a×b|=|a|×|b|×sin(a,b)
它的方向按右手定则判定:弯曲右手手掌(称赞别人时所做的动作),拇指向外,另外四指弯曲的方向与从a到b的转角方向相同,拇指所指的方向即是a×b的方向.
a*b=|a|×|b|×coc(a,b)
向量的叉乘积是一个向量,它的模是
|a×b|=|a|×|b|×sin(a,b)
它的方向按右手定则判定:弯曲右手手掌(称赞别人时所做的动作),拇指向外,另外四指弯曲的方向与从a到b的转角方向相同,拇指所指的方向即是a×b的方向.
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我觉得不应该仅限于二维、三维,应该可以推广到三维以上,而且含义不变。
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向量的点积:
假设向量u(ux, uy)和v(vx, vy),u和v之间的夹角为α,从三角形的边角关系等式出发,可作出如下简单推导:
|u - v||u - v| = |u||u| + |v||v| - 2|u||v|cosα
===>
(ux - vx)2 + (uy - vy)2 = ux2 + uy2 +vx2+vy2- 2|u||v|cosα
===>
-2uxvx - 2uyvy = -2|u||v|cosα
===>
cosα = (uxvx + uyvy) / (|u||v|)
这样,就可以根据向量u和v的坐标值计算出它们之间的夹角。
定义u和v的点积运算: u . v = (uxvx + uyvy),
上面的cosα可简写成: cosα = u . v / (|u||v|)
当u . v = 0时(即uxvx + uyvy = 0),向量u和v垂直;当u . v > 0时,u和v之间的夹角为锐角;当u . v < 0时,u和v之间的夹角为钝角。
可以将运算从2维推广到3维。
向量的叉积:
假设存在向量u(ux, uy, uz), v(vx, vy, vz), 求同时垂直于向量u, v的向量w(wx, wy, wz).
因为w与u垂直,同时w与v垂直,所以w . u = 0, w . v = 0; 即
uxwx + uywy + uzwz = 0;
vxwx + vywy + vzwz = 0;
分别削去方程组的wy和wx变量的系数,得到如下两个等价方程式:
(uxvy - uyvx)wx = (uyvz - uzvy)wz
(uxvy - uyvx)wy = (uzvx - uxvz)wz
于是向量w的一般解形式为:
w = (wx, wy, wz) = ((uyvz - uzvy)wz / (uxvy - uyvx), (uzvx - uxvz)wz / (uxvy - uyvx), wz)
= (wz / (uxvy - uyvx) * (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx))
因为:
ux(uyvz - uzvy) + uy(uzvx - uxvz) + uz(uxvy - uyvx)
= uxuyvz - uxuzvy + uyuzvx - uyuxvz + uzuxvy - uzuyvx
= (uxuyvz - uyuxvz) + (uyuzvx - uzuyvx) + (uzuxvy - uxuzvy)
= 0 + 0 + 0 = 0
vx(uyvz - uzvy) + vy(uzvx - uxvz) + vz(uxvy - uyvx)
= vxuyvz - vxuzvy + vyuzvx - vyuxvz + vzuxvy - vzuyvx
= (vxuyvz - vzuyvx) + (vyuzvx - vxuzvy) + (vzuxvy - vyuxvz)
= 0 + 0 + 0 = 0
由此可知,向量(uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)是同时垂直于向量u和v的。
为此,定义向量u = (ux, uy, uz)和向量 v = (vx, vy, vz)的叉积运算为:u x v = (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)
上面计算的结果可简单概括为:向量u x v垂直于向量u和v。
根据叉积的定义,沿x坐标轴的向量i = (1, 0, 0)和沿y坐标轴的向量j = (0, 1, 0)的叉积为:
i x j = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1) = k
同理可计算j x k:
j x k = (0, 1, 0) x (0, 0, 1) = (1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 0 * 0) = (1, 0, 0) = i
以及k x i:
k x i = (0, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0) = (0, 1, 0) = j
由叉积的定义,可知:
v x u = (vyuz - vzuy, vzux - vxuz, vxuy - vyux) = - (u x v)
假设向量u(ux, uy)和v(vx, vy),u和v之间的夹角为α,从三角形的边角关系等式出发,可作出如下简单推导:
|u - v||u - v| = |u||u| + |v||v| - 2|u||v|cosα
===>
(ux - vx)2 + (uy - vy)2 = ux2 + uy2 +vx2+vy2- 2|u||v|cosα
===>
-2uxvx - 2uyvy = -2|u||v|cosα
===>
cosα = (uxvx + uyvy) / (|u||v|)
这样,就可以根据向量u和v的坐标值计算出它们之间的夹角。
定义u和v的点积运算: u . v = (uxvx + uyvy),
上面的cosα可简写成: cosα = u . v / (|u||v|)
当u . v = 0时(即uxvx + uyvy = 0),向量u和v垂直;当u . v > 0时,u和v之间的夹角为锐角;当u . v < 0时,u和v之间的夹角为钝角。
可以将运算从2维推广到3维。
向量的叉积:
假设存在向量u(ux, uy, uz), v(vx, vy, vz), 求同时垂直于向量u, v的向量w(wx, wy, wz).
因为w与u垂直,同时w与v垂直,所以w . u = 0, w . v = 0; 即
uxwx + uywy + uzwz = 0;
vxwx + vywy + vzwz = 0;
分别削去方程组的wy和wx变量的系数,得到如下两个等价方程式:
(uxvy - uyvx)wx = (uyvz - uzvy)wz
(uxvy - uyvx)wy = (uzvx - uxvz)wz
于是向量w的一般解形式为:
w = (wx, wy, wz) = ((uyvz - uzvy)wz / (uxvy - uyvx), (uzvx - uxvz)wz / (uxvy - uyvx), wz)
= (wz / (uxvy - uyvx) * (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx))
因为:
ux(uyvz - uzvy) + uy(uzvx - uxvz) + uz(uxvy - uyvx)
= uxuyvz - uxuzvy + uyuzvx - uyuxvz + uzuxvy - uzuyvx
= (uxuyvz - uyuxvz) + (uyuzvx - uzuyvx) + (uzuxvy - uxuzvy)
= 0 + 0 + 0 = 0
vx(uyvz - uzvy) + vy(uzvx - uxvz) + vz(uxvy - uyvx)
= vxuyvz - vxuzvy + vyuzvx - vyuxvz + vzuxvy - vzuyvx
= (vxuyvz - vzuyvx) + (vyuzvx - vxuzvy) + (vzuxvy - vyuxvz)
= 0 + 0 + 0 = 0
由此可知,向量(uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)是同时垂直于向量u和v的。
为此,定义向量u = (ux, uy, uz)和向量 v = (vx, vy, vz)的叉积运算为:u x v = (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)
上面计算的结果可简单概括为:向量u x v垂直于向量u和v。
根据叉积的定义,沿x坐标轴的向量i = (1, 0, 0)和沿y坐标轴的向量j = (0, 1, 0)的叉积为:
i x j = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1) = k
同理可计算j x k:
j x k = (0, 1, 0) x (0, 0, 1) = (1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 0 * 0) = (1, 0, 0) = i
以及k x i:
k x i = (0, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0) = (0, 1, 0) = j
由叉积的定义,可知:
v x u = (vyuz - vzuy, vzux - vxuz, vxuy - vyux) = - (u x v)
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