Question

高等代数题（多项式）

证明:
设 f(x)是整系数多项式,且 f(1)=f(2)=f(3)=p,<p为素数>,则不存在整数m，使 f(m)=2p。

Answer 1

证明：假设存在整数m,使f(m)=2p,令F(x)=
f(x)-p,显然F(X)是整系数多项式，则F(1)=F(2)=F(3)=p-p=0.故1,2,3是F(X)的根。可令
F(X)=(x-1)(x-2)(x-3)g(x),则g(x)也是整系数多项式，所以F(m)=(m-1)(m-2)(m-3)g(x)=
f(m)-p=2p-p=p,根据已知，f(1)=f(2)=f(3)=p,<p为素数>,f(m)=2p,故m-1,m-2,m-3是不同的整数，它们又是p的因数，这与p为素数矛盾。

Answer 2

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