Question

已知分段函数f(x)=1-1/x,(x>=1)

已知分段函数f(x)=1-1/x,(x>=1)
=1/x-1,(0<x<1)
（1）当0<a<b,且f（a）=f(b),求1/a+1/b的值
（2）说出f(x)在[1,+∝）的单调性和值域
（3）是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在，则求出a,b的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

____你的分段函数f(x)=1-1/x是指f(x)=1-(1/x)吧！你应该多加个括号的，1/x-1最好写成(1/x)-1，否则会有歧义，还可认为是1/(x-1)···这点注意！
____前2问就不说了，九级的你应该知道，只讲第（3）问：
____我先给出解析，让你明白我所给答案是怎么来的，解析如下：
（3）已知分段函数的定义域为(0，+∞)，那么要求的a、b也应满足0<a<b，这个先放一下。
____再来看，假设存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]；就看这句话，如何理解？万变不离其宗，解决函数题，不考虑图像，简直就是打仗不用枪！看函数的定义域、值域相同，即同为[a，b]时，函数图像有何特点：我顺着这条思路思考的结果有了，如下：
____函数首先在闭区间[a，b]是连续函数，过x=a、b，y=a、b各作一直线；共有4条直线，构成一个正方形，且这个正方形的一条对角线在直线y=x上，另外一条对角线所在的两个对角顶点关于直线y=x对称；并且图像有两种最基本的可能情形：这个正方形的某一条对角线所在的对角顶点在函数图像上，两条对角线，对应两种情形。
____好了，现在可以利用以上思考的结果来解决第（3）问了：我们利用上述结论中的与直线y=x对称且不在直线y=x上的处于正方形上两个对角顶点，看题设给出的分段函数是否有符合这一条件的两个点来充当这一结论中所谓正方形的两个对角顶点；
____观察题设所给分段函数的图像（你至少能画出草图吧！），
____找出分段函数各段函数的反函数，即：
f-1(x)=1/(1-x)，(0≤x<1)；
=1/(1+x)，(1≤x)
然后求分段函数与其反函数的图像的交点坐标：
在公共的分段区间(0，1)里求得方程(1/x)-1=1/(1-x)的解为x=(3-√5)/2，对应的y=(1+√5)/2；
在公共的分段区间[1，+∞)里求得方程1-(1/x)=1/(1+x)的解为x=(1+√5)/2，对应的y=(3-√5)/2；
即符合之前结论中所说的两个正方形的对角顶点分别为
((3-√5)/2，(1+√5)/2)和((1+√5)/2，(3-√5)/2)；
但以此两点为顶点的正方形会将分段函数隔断（画画草图就能知道），不符合“函数在[a，b]内连续”的首要条件，因此第（3）问所求的[a，b]不存在！

____简要答案，自己组织一下语言吧！

Answer 2

1、由0<a<b,画函数图像，所以有0<a<1<b
即f(a)=1/a-1,f(b)=1-1/b

由f(a)=f(b)得
1/a-1=1-1/b
1/a+1/b=2

2、由于x在[1,+∞）上是增函数，所以1/x是减函数，所以-1/x是增函数，即1-1/x是增函数

f(1)=1-1/1=0
f（+∞)=1-1/∞=1
由于x不能取到∞，所以f(x)不能取到1
所以f(x)在[1,+∞)上是增函数，其值域是[0,1)

3、lim(x→0)f(x)
=lim(x→0)1/x-1
=∞

lim(x→1)f(x)
=lim(x→+∞)1-1/x
=1-1
=0

因为f(x)的定义域不为0，而值域里有0的存在，所以不存在这样的a
有f（x)的定义域和值域都能到∞，所以也不存在这样b满足包含b的集合

所以不存在这样的a，b满足函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b]

Answer 3

问题问我，我数学不错

Answer 4

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