Question

一道关于椭圆的数学题

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴，椭圆C上的点到焦点距离最大为3，最小为1
若直线L：y＝kx+b与椭圆C相交与A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线L过定点，求出定点坐标。
summerharrypot - 助理 三级 的这一步
(4k²+1)x²+8kbx+4b²-12=0
是不是算错了？
而且
由于F在以AB为直径的圆上
又是如何得到的呢？

Answer 1

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴，椭圆C上的点到焦点距离最大为3，最小为1.。则:a=(3+1)/2=2,c=1,b=√3
所以椭圆C的方程为：x^2/4+y^2/3=1
若直线L：y＝kx+b与椭圆C相交与A，B两点（A，B不是左右顶点）, 以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，C点坐标为(2,0)，设AB点坐标为(x1,y1),(x2,y2)
联立直线方程和椭圆方程德：3x^2+4(kx+b)^2=12
化简得：(4k^2+3)x^2+8kbx+4b^2-12=0\
则：x1+x2=-8kb/(4k^2+3)；x1x2=(4b^2-12)/ (4k^2+3)
y1=kx1+b；y2=kx2+b
y1/(x1-2)=-(x2-2)/y2
(kx1+b)(kx2+b)+(x1-2)(x2-2)=0
k^2x1x2+kb(x1+x2)+b^2+x1x2-2(x1+x2)+4=0
(k^2+1)(4b^2-12)/ (4k^2+3)-(kb-2)*8kb/(4k^2+3)+b^2+4=0
(k^2+1)(4b^2-12)-(kb-2)8kb+(b^2+4) (4k^2+3)=0
4k^2b^2-12k^2+4b^2-12-8k^2b^2+16kb+4k^2b^2+3b^2+16k^2+12=0
4k^2+7b^2+16kb=0
k=2b±3b/2
当k=2b+3b/2=7b/2时，直线方程为：y=b(7x/2+1)，过定点(-2/7,0)
当k=2b-3b/2=b/2时，直线方程为：y=b(x/2+1)，过定点(-2,0)

Answer 2

大概的是路就是这样的，具体的我就不算了：
椭圆的中心在坐标原点，根据条件知道他的方程：
1/9x^2+y^2=1
你设AB的中点是O,也就是圆心。那么他到右顶点的距离就是AB长的一半。
设O的坐标是（x0,y0)根据电线距离公式，他到顶点的距离可以用x0,y0表示出来。
再根据弦长公式|AB|=√(k^2-1)*|x1-x2|
(把AB坐标设成xy加下标12）
k*y0/x0=-a^2/b^2导出k=-1/9*x0/y0
x1-x2用韦达定理表示出来（就是连理只限于椭圆方程，k，b都先用x0,y0表示）
最后AB=2*o到右顶点距离。
最后得出x0,y0的函数关系。你肯定能看出来定点是什么。

Answer 3

交点到椭圆的最大距离和最小距离分别是椭圆的两个顶点（用第二定义可以证明）因此2a=3+1=4，c=1
因此可以写出椭圆的方程为x²/4+y²/3=1
设直线与椭圆交点为A（x1,y1）,B(x2,y2)，椭圆右焦点F（1，0）
由于F在以AB为直径的圆上,根据圆的几何性质：AF⊥BF，
因此AF（向量）·BF（向量）=0
AF（向量）=（x1-1,y1）,BF(向量)=（x2-1,y2）
AF（向量）·BF（向量)=x1x2+y1y2-(x1+x2)+1
由于y1=kx1+b,y2=kx2+b
带回原式：AF（向量）·BF（向量)=(k²+1)x1x2+(kb-1)(x1+x2)+b²+1=0……(*)
直线方程和椭圆方程联立，消去y得：
(4k²+1)x²+8kbx+4b²-12=0
根据韦达定理：x1+x2=-8kb/(4k²+1)，x1x2=(4b²-12)/(4k²+1),带入到(*)式
可得到k和b的关系k=7b/2或者k=b/2，
因此直线方程可以写为：
y=(7b/2)(x+2/7)，过定点(-2/7,0)
y=(b/2)(x+1/2)，过定点(-2,0)

这道题充分体现出了解析几何题的特点，解法多，计算量大。
针对这道题面对于条件“以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点”有很多种处理方法，我采用了向量的处理方法，还可以利用AB到F的距离等于AB长度的一半，利用弦长公式去做（最好不要直接写弦长公式，加一点推导过程），或者直线斜率去做（不要忘了考虑斜率不存在的情况）。我个人认为用向量做，是计算量最小的方法了。因为向量是用代数解决几何问题的一种手段，而笛卡尔创立的解析几何学就是要通过代数方法解决几何问题，因此几何问题才是实质。这样，在解答解析几何问题的时候，要多考虑曲线的几何性质，这是问题的实质，有助于减少计算量。