Question

高等数学求极限，求lim[1/e*(1+x)^（1/x）]^(1/x) 【x趋于0】

如题：求lim[（1/e）*(1+x)^（1/x）]^(1/x) 【x趋于0】

Answer 1

lim(x→0)[(1/e)*(1+x)^(1/x)]^(1/x)
=lim(x→0)e^ln{[(1/e)*(1+x)^(1/x)]^(1/x)}
=e^lim(x→0)(-1+ln(1+x)/x)/x
=e^lim(x→0)(-x+ln(1+x))/x^2
[洛必达法则]
=e^lim(x→0)(-1+1/(1+x))/2x
=e^lim(x→0)(-x)/[2x(1+x)]
=e^(-1/2)

lim[（1/e）*(1+x)^（1/x）]^(1/x)=lim[1/(e*e)]^(1/x)
这一步不对 极限的四则运算没有这种计算法

Answer 2

同学，你的题目是不是改了？
而且没有改好哦

下面是原题目的解法
解此题要先知道，在x趋于0时
（1+x)^（1/x）=e
那么
lim[1/e*(1+x)^（1/x）]^(1/x)=lim[(1/e)*e)]^(1/x)
=lim e^(-2/x) 【x趋于0】

这个极限底数是e 幂指数是趋向于-∞
就很容易知道结果是0
所以lim[1/e*(1+x)^（1/x）]^(1/x)=0

一楼解的是对的
我是复制来的 最后才发现题目不对

Answer 3

lim[（1/e）*(1+x)^（1/x）]^(1/x)
=lim[1+（(1+x)^（1/x）-e)/e]^[[e/（(1+x)^（1/x）-e)]*[（(1+x)^（1/x）-e)/ex ]]
=lime^（(1+x)^（1/x）-e)/ex
lim((1+x)^（1/x）-e)/ex
=lim(x-(1+x)ln(1+x))/x^2
=-1/2
所以lim[（1/e）*(1+x)^（1/x）]^(1/x) 【x趋于0】＝e^(-1/2)