Question

一道关于复数的题目

设OA向量对应的复数z1，OB向量对应的复数z2，若z1/z2=1+√3 i，求 ∠AOB.

Answer 1

(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/[(c+di)(c-di)]
=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2-d^2i^2)
=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2)
把(ac+bd)看成A向量乘以B向量，c^2+d^2看成B向量的模
(ac+bd)/(c^2+d^2)=1 就是 A*B/（B模）
但A模我也不会。。。。(bc-ad)/(c^2+d^2)=√3不会用。。。。。不过应该是结合平面向量的A*B/(A模*B模）=COS∠AOB

Answer 2

f（x）=|z1-z2|^2=|(cosx+i)-(1+isinx)|^2=(cosx-
1)^2+(1-sinx)^2=(sinx)^2+(cosx)^2-2(sinx+cosx)+2
=3-2√2sin(x+π/4)
最大值3+2√2；最小值3-2√2
值域：
[3-2√2，3+2√2]

Answer 3

一、基本知识点——
复数的辐角：以x轴的正半轴为始边，向量所在射线(起
点是O点)为终边的角θ叫做复数Z=a+bi的辐角。
不等于零的复数Z=a+bi的辐角有无限多个值，这些值相差2π
的整数倍。适合[0，2π]的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记
作argZ，即0≤argZ＜2π。
当a∈R+时，有下列关系：
arga=0
arg(-a)=π
arg(ai)=
arg(-ai)=π
复数相等的充要条件：每一个不等于零的复数有唯一的模与辐
角的主值。并且可由他的模与辐角的主值唯一确定。因此两个非零
复数相等当且仅当他们的模与辐角的主值分别相等。
复数的三角形式：任何一个复数Z=a+bi都可以表示为r(cosθ
+isinθ)的形式，其中r=cosθ=,sinθ=,r(cosθ+isinθ)
叫做复数a+bi的三角形式，为了同三角形式区别开来，将a+bi叫做
复数的代数形式。
复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数的
模的积；积的辐角等于各复数的辐角的和，有如下公式：
若Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)
那么Z1*Z2=r1(cosθ1+isinθ1)*r2(cosθ2+isinθ2)
=r1*r2*[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
复数乘法的几何意义：两个复数Z1，Z2相乘时，可以先画出分别
与Z1，Z2对应的向量，，然后把向量按逆时针方向旋转一个
角θ2(如果θ2＜0,就要把按顺时针方向旋转一个｜θ2｜)，再把它
的模变为原来的r2倍，所得的向量，就表示积Z1*Z2。
棣莫佛定理：复数Z的n次幂(n∈N)的模等于这个复数的模的n次
幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍有公式：
若Z=r(cosθ+isinθ)
Zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N)
复数三角形式的除法：两个复数相等，商的模等于被除数的模
除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐
角所得的差，有公式：
若Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2。)

=[cos(θ1-θ2)+sin(θ1-θ2)]
复数三角形式的开方：复数的n次方根(n∈N)是n个复数，它们
的模都等于这个复数的模的n次方根，它们的辐角与2π的0，1，2，
…(n-1)倍的和的n分之一。
复数r(cosθ+isinθ)的n次方根为：
(cos+isin)k=0，1，…(n-1)
负实数的平方根：若a∈R+，则-a的平方根为±i。
实数系数一元二次方程虚根成对定理：实数系数一元二次
方程ax2+bx+c=0在复数集C中有两个根：x=，
(b2-4ac＜0)显然它们是一对共轭复数。这说明实系数一元二
次方程若有一个虚数根，那么这个虚数的共轭复数必为另一根。
二项方程：形如anxn+a0=0(a0，an∈C且an≠0)的方程叫做
二项方程。任何一个二项方程都可以化成xn=b(b∈C)的形式，
因此都可以通过复数开方来求根。
一般地，方程xn=b(b∈C)的根的几何意义是复平面内的n个
点，这些点均匀的分布在以原点为圆心，以为半径的圆上。
二、重点与难点——
本专题的重点是复数的三角形式，它将高中的三角变换知识
与复数的有关概念紧密地连在一起，产生许多重要的变换，特别
是围绕着复数的辐角的有关概念与运算及复数的应用，成为本专
题的难点所在。在学习时不断地总结体会与经验是学好这一专题
的关键。
三、例题详解——
例1：选择题(每题仅一个正确答案)
(1)若α=π，θ=arccos(cosα)，则复数Z=cosθ+isinθ
的辐角主值是( )
A、π B、π
C、 D、π
(2)若复数Z=1-cosx+isinx(π＜x＜2π)，则Z的辐角主值为( )
A、- B、
C、π- D、π+
解：(1)∵0≤θ＜2π 排除B。
θ=arccos(cosα)=α 0＜α＜π
∴θ=arccos[cos(2π-π)]=π
Z=cosπ+isinπ 选A
(2)先将Z化为复数的三角形式：
Z=1-cosx+isinx=2sin2+i*2sin*cos
=2sin(sin+icos)
=2sin[cos(-)+isin(-)]
=2sin[cos(2π+-)+isin(2π+-)]
=2sin[cos(π-)+isin(π-)]
此时2sin＞0，π-∈[0，2π]
∴选C。
例2：填空题：
(1)1+i的平方根是=______；
(2)若Z=cos+isin，则1+Z+Z7+Z13+Z19等于______；
(3)若a=｜＋i｜，Z=a+i，则Z5=______；
(4)Z=a- i(a∈R)对应的点都在单位圆内(不包括单位圆
的边界)，则实数a的取值范围是______；
(5)已知Z1，Z2是两个不等于零的复数，它们在复平面上
对应的点分别为A，B，且Z1，Z2满足关系式4Z12-2Z1*Z2+Z22=0，
则△AOB的形状是______。
解：(1)将1+i化为三角形式：
r==2，tgθ==，θ=，
1+i=2(cos+isin)，它的平方根：
(cos+isin)(k=0，1)
∴平方根为(cos+isin)=+i，
(cosπ+isinπ)=--i；
(2)∵Z19=(cos+isin)19
∴Z19=cos-isin
Z13=cosπ+isinπ=cosπ+isinπ=-cosπ+isinπ
Z7=cosπ+isinπ=-cosπ-isinπ
原式=1+cos+isin-cosπ-isinπ-cosπ+isinπ+cos-isin
=1+2cos-2cosπ；
(3)∵a=｜+i｜==
Z=a+i=+i=2(cos+isin)
Z5=[2(cos+isin)]5
=32(cosπ+isinπ)
=32(-cos+isin)
=-+i
=-16+16i；
(4)∵｜Z｜＜1即有｜a- i｜＜1
＜1，0＜a2+＜1，a2＜
∴-＜a＜
(5)由4Z12-2Z1*Z2+Z22=0可得：
(Z1-Z2)2=-3Z12=(Z1*i)2
Z1-Z2=±Z1i
(1i)Z1=Z2，
2Z1(cos+isin)=Z2或2Z1[cos(-）+isin(-)]=Z2，
由此可以看出2｜Z1｜=｜Z2｜，Z1对应的向量逆时针或顺
时针旋转可得到Z2所对应的向量，且2｜OA｜=｜OB｜，
∴△AOB是直角三角形。
例3：求复数Z=(0＜θ＜)
的模与辐角，并求当θ=时，Zn∈R的最小自然数n的值。
解：Z=
=
=
=-sinθ+icosθ
=cos(+θ)isin(+θ)
∴｜Z｜=1，argZ=+θ(0＜θ＜)
当θ=时
Zn=cosn(+)+isinn(+)
Zn=cosπ+isinπ
若使Zn∈R，则必有sinπ=0
但26，15互质，∴n=26时，sin15π=0
此时Zn=cos15π=-1∈R，
∴满足题设条件的最小自然数n=26。
例4：设Z1，Z2∈C，且｜Z1｜=1，｜Z2｜=，｜Z1-Z2｜=2。
求：。
解：设：Z1=cosα+isinα，Z2=(cosβ+isinβ)，
∵｜Z1-Z2｜=2
∴｜(cosα-cosβ)+(sinα-sinβ)i｜=2
即(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=4
cos2α-2cosαcosβ+2cos2β+sin2α-2sinαsinβ+2sin2β=4
3- 2cos(α-β)=4，
∴cos(α-β)=-
∴sin(α-β)=±=±，
∴=
=[cos(α-β)isin(α-β)]
=[-±i]
∴=-±i。
例5：设为纯虚数，试问当Z变动时它所对应的点的轨迹
是什么?
解：设=t*i(t∈R)，
则Z=Zti-ti
Z=，设Z=x+yi(x，y∈R)，
则有：x+yi=，

①2+②2：x2+y2==x
∴x2-x+y2=0，即Z点的轨迹为(x-)2+y2=，这是
以(，0)为圆心，为半径的圆。
四、练习题——
1.选择题：(每题仅有一个正确答案)
(1)若Z1=cos150°+isin150°，Z2=cos300°+isin300°，
则Z1+Z2的辐角主值( )
A、45° B、150° C、450° D、225°
(2)计算(1-i)6+(1-i)12的值是( )
A、27 B、-27 C、0 D、1
(3)把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转π，所得到的
向量对应的复数( )
A、 B、
C、 D、
(4)若Z*+Z-=3，则复数Z所表示的点集为( )
A、圆 B、直线
C、两点 D、圆与实轴
(5)若Z=a+bi(a，b∈R)，r=，θ=argZ，点Z在第四象限，
则有( )
A、θ=arcsin B、θ=arccos
C、θ=arctg D、θ=2π+arctg
2.填空题：
(1)3+4i的平方根是______。
(2)设｜Z+1｜=｜Z-1｜且arg=，则复数Z=______。
(3)计算=______。
(4)将Z=sin30°-icos30°所对应的向量顺时针方向旋转120°，
所得向量对应的复数是______。
(5)设5+6i的辐角主值是θ，那么12-10i的辐角主值是______(用θ表示)。
(6)若x∈C，则方程x2+ix+i-1=0的解是_____。
(7)方程Z3=在复数集上的解集是______。
3.解答题：
(1)求值 (n∈N)
(2)Z=，
求：复数Z的模。
(3)求S=1+2i+3i2+4i3+…+(4n+1)i4n。
(4)若Z∈C且Z2=8+6i，
求：Z3-16Z-的值。
(5)求值为实数的n的最小正整数值，此时实数值
是多少?
(6)设t=cosπ+isinπ，求：t+的值。另，若cosπ+isinπ
是x5-1=0的一个根，求：cosπ与cosπ的值。
(7)若Z∈C，且｜Z｜=1
求：｜Z++i｜取得最大值时Z的值。

Answer 4

2i-2

Answer 5

2i_2