Question

设f（x）的一阶导在（a，b）内存在且有界，证明f（x）在（a，b）内有界

Answer 1

用反证法：如果f（x）在（a,b）内无界，证明f′也无界。
取M＞0找C∈（a,b）,f′（c）＞M即可。
取d∈（a,b）,（ad],[db）中，必有一个使f无界。不妨设为[d,b）.
令N=（M+1）×（b-d）＋|f（d）|.
存在e∈[d，b）使f（e）＞N.在[d，e]上用Lagrange公式。存在c∈（d,e）.
f（e）－f（d）＝f′（c）（e-d）.
f′（c）＝｛f（e）－f（d）｝／（e-d）＞｛N－f（d）｝／（e-d）
≥｛N－f（d）｝／（b-d）≥M+1＞M.
∴f′（x）在（a,b）无界，矛盾。
∴f（x）在（a,b）有界。