Question

不定积分:x^8(1+4x^2)^(1/2)，怎么求？

当n为偶数时，x^n(1+x^2)^(1/2)的积分能不能求的？

Answer 1

不定积分x^8(1+4x^2)^(1/2)=1/40*x^7*(1+4*x^2)^(3/2)-7/1280*x^5*(1+4*x^2)^(3/2)+7/6144*x^3*(1+4*x^2)^(3/2)-7/32768*x*(1+4*x^2)^(3/2)+7/65536*x*(1+4*x^2)^(1/2)+7/131072*asinh(2*x)

x^n(1+x^2)^(1/2)的积分等于1/2/(1/2*n+1/2)*x^(1+n)*hypergeom([-1/2, 1/2*n+1/2],[3/2+1/2*n],-x^2)

其中hypergeom(n, d, z) %该命令为广义超几何函数F(n,d,z)，即已知的Barnes扩展超几何函数，记做jFk，其中j=length(n)，k=length(d)。对于标量a,b与c，hypergeom([a,b],c, z)为Gauss超几何函数2F1(a,b;c,z)。

如， int(x^2*(1+x^2)^(1/2))=1/4*x*(1+x^2)^(3/2)-1/8*x*(1+x^2)^(1/2)-1/8*asinh(x)

int(x^4*(1+x^2)^(1/2))=1/6*x^3*(1+x^2)^(3/2)-1/8*x*(1+x^2)^(3/2)+1/16*x*(1+x^2)^(1/2)+1/16*asinh(x)