Question

渐变折射率光纤 纤芯 高斯分布 公式

我想知道具有高斯分布的渐变折射率光纤，其折射率分布表达式以及其折射率平方的表达式！！是高斯分布，不是其他！！！最好能顺便附上出处！！分数绝对少不了

Answer 1

光纤传输的波动理论

光纤传输的波动理论的两个出发点

波动方程和电磁场表达式

特征方程和传输模式

光纤传输的波动理论的两个角度

多模渐变型光纤的模式特性

单模光纤的模式特性

1. 波动方程和电磁场表达式

设光纤没有损耗，折射率n变化很小，在光纤中传播的是角频率为ω的单色光，电磁场与时间t的关系为exp(jωt)，则标量波动方程为

(2.18a)

(2.18b)

式中，E和H分别为电场和磁场在直角坐标中的任一分量， c为光速。选用圆柱坐标(r，φ，z)，使z轴与光纤中心轴线一致， 如图2.6所示。

将式(2.18)在圆柱坐标中展开，得到电场的z分量Ez的波动方程为

(2.19)

磁场分量Hz的方程和式(2.19)完全相同，不再列出。

解方程(2.19)，求出Ez 和Hz，再通过麦克斯韦方程组求出其他电磁场分量，就得到任意位置的电场和磁场。

把Ez(r, φ, z)分解为Ez(r)、Ez(φ)和Ez(z)。设光沿光纤轴向(z轴)传输，其传输常数为β，则Ez(z)应为exp(-jβz)。

由于光纤的圆对称性，Ez(φ)应为方位角φ的周期函数， 设为exp( jvφ)，v为整数。

现在Ez(r)为未知函数，利用这些表达式， 电场z分量可以写成

(2.20)

把式(2.20)代入式(2.19)得到

(2.21)

式中，k=2π/λ=2πf /c=ω/c，λ和f为光的波长和频率。 这样就把分析光纤中的电磁场分布，归结为求解贝塞尔(�Bessel)方程(2.21)。

设纤芯(0≤r≤a)折射率n(r)=n1，包层(r≥a)折射率n(r)=n2，实际上突变型多模光纤和常规单模光纤都满足这个条件。

为求解方程(2.21)，引入无量纲参数u, w和V。

(2.22)

利用这些参数， 把式(2.21)分解为两个贝塞尔微分方程：

(2.23a)

(2.23b)

因为光能量要在纤芯(0≤r≤a)中传输， 在r=0处，电磁场应为有限实数；在包层(r≥a)，光能量沿径向r迅速衰减，当r→∞时， 电磁场应消逝为零。

根据这些特点，式(2.23a)的解应取v阶贝塞尔函数Jv(ur/a)，而式(2.23b)的解则应取v阶修正的贝塞尔函数Kv(wr/a)。

因此，在纤芯和包层的电场Ez(r, φ, z)和磁场Hz(r, φ, z)表达式为

(2.24a)

(2.24b)

(2.24c)

(2.24d)

式中，脚标1和2分别表示纤芯和包层的电磁场分量，A和B为待定常数，由激励条件确定。Jv(u)和Kv(w)如图2.7所示，Jv(u)类似振幅衰减的正弦曲线，Kv(w)类似衰减的指数曲线。

式(2.24)表明，光纤传输模式的电磁场分布和性质取决于特征参数u、w和β的值。

u和w决定纤芯和包层横向(r)电磁场的分布，称为横向传输常数；β决定纵向(z)电磁场分布和传输性质，所以称为纵向传输常数。

2. 特征方程和传输模式

由式(2.24)确定光纤传输模式的电磁场分布和传输性质， 必须求得u, w和β的值。

由式(2.22)看到，在光纤基本参数n1、n2、a和k已知的条件下， u和w只和β有关。利用边界条件，导出β满足的特征方程， 就可以求得β和u、w的值。

由式(2.24)确定电磁场的纵向分量Ez和Hz后，就可以通过麦克斯韦方程组导出电磁场横向分量Er、Hr和Eφ、Hφ的表达式。

因为电磁场强度的切向分量在纤芯包层交界面连续，在r=a处应该有

(2.25)

由式(2.24)可知，Ez和Hz已自动满足边界条件的要求。

由Eφ和Hφ的边界条件导出β满足的特征方程为

(2.26)

这是一个超越方程，由这个方程和式(2.22)定义的特征参数V联立，就可求得β值。

但数值计算十分复杂，其结果示于图2.8。 图中纵坐标的传输常数β取值范围为

(2.27)

相当于归一化传输常数b的取值范围为0≤b≤1，

(2.28)

横坐标的V称为归一化频率， 根据式(2.22)

(2.29)

图中每一条曲线表示一个传输模式的β随V的变化， 所以方程(2.26)又称为色散方程。

两种重要的模式特性

模式截止: 电磁场介于传输模式和辐射模式的临界状态， 这个状态称为模式截止

模式远离截止: 当V→∞时， w增加很快，当w→∞时，u只能增加到一个有限值，这个状态称为模式远离截止

模式截止 由修正的贝塞尔函数的性质可知，若要求在包层电磁场消逝为零，必要条件是w>0。

如果w<0， 电磁场将在包层振荡， 传输模式将转换为辐射模式，使能量从包层辐射出去。

w=0(β=n2k)介于传输模式和辐射模式的临界状态， 这个状态称为模式截止。

其u、 w和β值记为uc、wc和βc，此时V=Vc=uc。

对于每个确定的v值，可以从特征方程(2.26)求出一系列uc值，每个uc值对应一定的模式，决定其β值和电磁场分布。

当v=0时，电磁场可分为两类。一类只有Ez、Er和Hφ分量，Hz=Hr=0，Eφ=0， 这类在传输方向无磁场的模式称为横磁模(波)，记为TM0μ。

另一类只有Hz、Hr和Eφ分量，Ez=Er=0，Hφ=0，这类在传输方向无电场的模式称为横电模(波)，记为TE0μ。

当v≠0时，电磁场六个分量都存在，这些模式称为混合模(波)。

混合模也有两类， 一类Ezvμ，另一类Hzvμ。下标v和μ都是整数。

第一个下标v是贝塞尔函数的阶数，称为方位角模数，它表示在纤芯沿方位角φ绕一圈电场变化的周期数。

第二个下标μ是贝塞尔函数的根按从小到大排列的序数， 称为径向模数，它表示从纤芯中心(r=0)到纤芯与包层交界面(r=a)电场变化的半周期数。

模式远离截止 当V→∞时， w增加很快，当w→∞时，u只能增加到一个有限值，这个状态称为模式远离截止，其u值记为u∞。

波动方程和特征方程的精确求解都非常繁杂，一般要进行简化。

大多数通信光纤的纤芯与包层相对折射率差Δ都很小(例如Δ<0.01)，因此有n1≈n2≈n和β=nk的近似条件。这种光纤称为弱导光纤，对于弱导光纤β满足的本征方程可以简化为

(2.30)

由此得到的混合模HEv+1μ和EHv-1μ(例如HE31和EH11)传输常数β相近，电磁场可以线性叠加。

用直角坐标代替圆柱坐标，使电磁场由六个分量简化为四个分量，得到Ey、 Hx、 Ez、 Hz或与之正交的Ex、Hy、Ez、Hz。这些模式称为线性偏振(Linearly Polarized)模，并记为LPvμ。

LP0μ即HE1μ，LP1μ由HE2μ和TE0μ、TM0μ组成，包含4重简并， LPvμ(v>1)由HEv+1μ和EHv-1μ组成，包含4重简并。

若干低阶LPvμ模简化的本征方程和相应的模式截止值uc�和远离截止值u∞列于表2.1，这些低阶模式和相应的V值范围列于表2.2，图2.9示出四个低阶模式的电磁场矢量结构图。

3. 多模渐变型光纤的模式特性

传输常数 多模渐变型光纤传输常数的普遍公式为

(2.31)

式中， n1、Δ、 g和k前面已经定义了，M是模式总数， m(β)是传输常数大于β的模式数。

经计算

(2.32a)

(2.32b)

由式(2.32)看到：

对于突变型光纤，g→∞，M=V2/2；

对于平方律渐变型光纤，g=2，M=V2/4。

根据计算分析，在渐变型光纤中， 凡是径向模数μ和方位角模数v的组合满足

q=2μ+v (2.33)

的模式，都具有相同的传输常数，这些简并模式称为模式群。

q称为主模数，表示模式群的阶数，第q个模式群有2q个模式， 把各模式群的简并度加起来，就得到模式数m(β)=q2。

模式总数M=Q2，Q称为最大主模数，表示模式群总数。用q和Q代替m(β)和M，从式(2.31)得到第q个模式群的传输常数

(2.34)

光强分布 多模渐变型光纤端面的光强分布(又称为近场)P(r)主要由折射率分布n(r)决定，

(2.35)

式中P(0)为纤芯中心(r=0)的光强，C为修正因子。

用对LP01模给出最佳注入效率的高斯场分布时，归一化模场半径w0/a和注入效率ρ与归一化波长λ/λc或归一化频率V的函数关系

双折射和偏振保持光纤

实际光纤难以避免的形状不完善或应力不均匀，必定造成折射率分布各向异性，使两个偏振模具有不同的传输常数(βx≠βy)。

在传输过程要引起偏振态的变化， 我们把两个偏振模传输常数的差(βx-βy)定义为双折射Δβ， 通常用归一化双折射B来表示，

(2.39)

式中，(βx+βy) / 2为两个传输常数的平均值。

两个正交偏振模的相位差达到2π的光纤长度定义为拍长Lb

(2.40)

双折射————偏振色散————限制系统的传输容量。

合理的解决办法是通过光纤设计，引入强双折射，把B值增加到足以使偏振态保持不变，或只保存一个偏振模式，实现单模单偏振传输。

强双折射光纤和单模单偏振光纤为偏振保持光纤。

渐变光纤中光线的传播—动画演示

Answer 2

n(r)=n1[1-△(r/a)*2] r<a
=n1(1-△)=n2 r≥a