从1=1到1+1=2的疑问，请举例
世界上要没有跟一个东西完全一致的另一个东西？如果有，请举例证明1=1。因为1不等于1，那1+1就不可能等于2了。结论：我们学的数学是否永远只是理论，而不是实际。数学是理论...
世界上要没有跟一个东西完全一致的另一个东西？如果有，请举例证明1=1。因为1不等于1，那1+1就不可能等于2了。
结论：我们学的数学是否永远只是理论，而不是实际。
数学是理论是准确的理想化模式；物理是实际是概率化模式。
所以准确的现实，只能以概率化的数学表示。而现实只能通过观察获得，观察的结果又形成概率，使理论更接近事实。
但是由于事实是以概率形式出现的，所以只能根据小概率事件发生实际为0进行解决。
结论：数学永远无法准确（100%）描述实际。1+1=2的实际发生概率只不过无限趋近100%。 展开
结论：我们学的数学是否永远只是理论，而不是实际。
数学是理论是准确的理想化模式；物理是实际是概率化模式。
所以准确的现实，只能以概率化的数学表示。而现实只能通过观察获得，观察的结果又形成概率，使理论更接近事实。
但是由于事实是以概率形式出现的，所以只能根据小概率事件发生实际为0进行解决。
结论：数学永远无法准确（100%）描述实际。1+1=2的实际发生概率只不过无限趋近100%。 展开
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因为它们都是 1 呀，所以1=1
都是一样的东西，当然相等
另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，数学就起着用科学的作用，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。
基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。A，。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛性”王梓坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
研究内容
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。
数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。
数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。
数学的定义
定义1：
还是一百多年前,恩格斯给数学下的定义是“研究客观世界的数量关系和空间形式的科学”,空间形式就是指的几何学
源自: 高师几何教学改革的设想 《楚雄师专学报》 2001年 陈萍
来源文章摘要：本文在反思师专几何教学现状的基础上 ,提出改革几何教学的一些建议
定义2：
数学定义是对数学发展的概括和总结.必然具有其阶段性与局限性,不存在适合任何时期亘古不变的数学定义.3.现代数学时期(19世纪末以来)现代数学时期是以1873年康托尔(G·Cantor)建立集合论为起点
源自: 从“数学是什么”谈数学及数学教育 《零陵学院学报》 2004年 肖家洪
来源文章摘要：<正> 数学是什么?这是一个公认的难于回答的问题。1941年,美国数学家R·柯朗与H·罗宾斯合作写了一本书,题目就是《数学是什么》。该书缘何不以“什么是数学”为题,我想二者是否有所区别,“数学是什么”,
都是一样的东西，当然相等
另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，数学就起着用科学的作用，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。
基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。A，。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛性”王梓坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
研究内容
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。
数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。
数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。
数学的定义
定义1：
还是一百多年前,恩格斯给数学下的定义是“研究客观世界的数量关系和空间形式的科学”,空间形式就是指的几何学
源自: 高师几何教学改革的设想 《楚雄师专学报》 2001年 陈萍
来源文章摘要：本文在反思师专几何教学现状的基础上 ,提出改革几何教学的一些建议
定义2：
数学定义是对数学发展的概括和总结.必然具有其阶段性与局限性,不存在适合任何时期亘古不变的数学定义.3.现代数学时期(19世纪末以来)现代数学时期是以1873年康托尔(G·Cantor)建立集合论为起点
源自: 从“数学是什么”谈数学及数学教育 《零陵学院学报》 2004年 肖家洪
来源文章摘要：<正> 数学是什么?这是一个公认的难于回答的问题。1941年,美国数学家R·柯朗与H·罗宾斯合作写了一本书,题目就是《数学是什么》。该书缘何不以“什么是数学”为题,我想二者是否有所区别,“数学是什么”,
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你谈到的其实是两个问题.
第一个问题是事物的相似性.这世界没有完全相同的东西,而是具有某种程度的相似性,男人和女人是不同的,但相对与动物,男人和女人又有共性;人和动物是不同的但相对于无生命的东西又有共性;生物和非生物是不同的,但与能量相比,他们又是有共性的;因此在不同的层次上,有不同的相似度.
第二个问题是精确度.我们需要多少的精确度来解决问题?买菜需要精确到两,买燕窝需要精确到克,买黄金需要精确到0.01克,显然我们并不需要无差错的精确,而是要能解决问题的精确,数学中的1是一种抽象出来无差错的精确,它在现实中并不存在,所以现实中使用的时候,会还原差错,1个大苹果加1个小苹果等于2个苹果,这里的差错就是在现实中还原出来的,1斤苹果加1斤梨子等于2斤水果,则是不同层次的相似度问题.
亲爱的海盗头目兄弟,很高兴你这种打破砂锅问到底的精神,这是我们人类能够持续进步的重要因素.
你两次的补充我都看到了.下面把我的一点意见拿出来一起讨论.
第一,分清现实与意识.现实是客观世界,它不以人的意识为转移,而意识是人对客观世界的认知和能动性的总结.客观世界中不存在两个完全相同的东西,但这并不妨碍意识"假设"出某种"其实并不存在"但完全相等的"抽象物".数字正式这样的“抽象物”。既然数字是抽象出来的其实并不存在实物的"抽象物",为什么还要它?因为客观世界虽然没有完全相等的东西,但"在具备某种可以接受的精确度"的前提下,可以由意识来认定他们是"某种层次上相同"的.而数学正是在这个前提下可以为我们解决问题.比如说9.x两的白菜+10.x两的白菜,在我们能接受的精确度的前提下可以等于2斤.但是9.x两的黄金+10.x两的黄金相加通常不能等于2斤黄金,因为这种程度的精确度不能满足人们的要求.
第二,分清数、量、类，这是三个完全不同但又紧密相连的概念。“1个苹果”，“1”是“数”，“个”是“量”，“苹果”是“类”。米、千克、瓦、秒等等都是度量单位，我们称之为“量纲”，他们是对事物不同性质的标准化描述。而这个标准化描述在客观世界中其实也未必存在，但这并不妨碍我们“假设”客观世界是连续的、可分的，从而理解和应用这些“量纲”。“类”是人类对客观世界实体的一种划分，这种划分通常都是常识性的，比如说什么是“人”这个类？人的肉体是人还是人的意识是人？裹在人体皮肤内的是人，那人体的辐射是不是人的一部分？肺里的气体是人的一部分，那皮肤表面的气体是不是人的一部分？因此这个问题实际涉及到非常多的哲学性问题，恕我无法回答，只能从常识上就事论事。1+1=2是数与数的关系，而不涉及到量和类。当你把抽象的1+1=2应用到现实中时，应该增加“量”与“类”的关系。1个苹果+1堆苹果的计算中，“数”与“数”可加，“类”与“类”相同，但“量纲”不同，这不是数学的错，而是你使用数学时违背了数学的前提条件。而你所说的1个苹果加一个地球等于2个东西,则量与类都不同，它就变成了在不同层次上分“类”的问题。如果这个类的精确度满足你的要求,那这个答案就是对的,而如果这个“类”的精确度不能满足你的要求，那结论就不会另你满意.
第三，在微观世界，速度对质量有影响，是一种“量”对另一种“量”有影响，而不是对“数”有影响，因此在微观世界，数仍然是理论上精确的和不被质疑的。
第一个问题是事物的相似性.这世界没有完全相同的东西,而是具有某种程度的相似性,男人和女人是不同的,但相对与动物,男人和女人又有共性;人和动物是不同的但相对于无生命的东西又有共性;生物和非生物是不同的,但与能量相比,他们又是有共性的;因此在不同的层次上,有不同的相似度.
第二个问题是精确度.我们需要多少的精确度来解决问题?买菜需要精确到两,买燕窝需要精确到克,买黄金需要精确到0.01克,显然我们并不需要无差错的精确,而是要能解决问题的精确,数学中的1是一种抽象出来无差错的精确,它在现实中并不存在,所以现实中使用的时候,会还原差错,1个大苹果加1个小苹果等于2个苹果,这里的差错就是在现实中还原出来的,1斤苹果加1斤梨子等于2斤水果,则是不同层次的相似度问题.
亲爱的海盗头目兄弟,很高兴你这种打破砂锅问到底的精神,这是我们人类能够持续进步的重要因素.
你两次的补充我都看到了.下面把我的一点意见拿出来一起讨论.
第一,分清现实与意识.现实是客观世界,它不以人的意识为转移,而意识是人对客观世界的认知和能动性的总结.客观世界中不存在两个完全相同的东西,但这并不妨碍意识"假设"出某种"其实并不存在"但完全相等的"抽象物".数字正式这样的“抽象物”。既然数字是抽象出来的其实并不存在实物的"抽象物",为什么还要它?因为客观世界虽然没有完全相等的东西,但"在具备某种可以接受的精确度"的前提下,可以由意识来认定他们是"某种层次上相同"的.而数学正是在这个前提下可以为我们解决问题.比如说9.x两的白菜+10.x两的白菜,在我们能接受的精确度的前提下可以等于2斤.但是9.x两的黄金+10.x两的黄金相加通常不能等于2斤黄金,因为这种程度的精确度不能满足人们的要求.
第二,分清数、量、类，这是三个完全不同但又紧密相连的概念。“1个苹果”，“1”是“数”，“个”是“量”，“苹果”是“类”。米、千克、瓦、秒等等都是度量单位，我们称之为“量纲”，他们是对事物不同性质的标准化描述。而这个标准化描述在客观世界中其实也未必存在，但这并不妨碍我们“假设”客观世界是连续的、可分的，从而理解和应用这些“量纲”。“类”是人类对客观世界实体的一种划分，这种划分通常都是常识性的，比如说什么是“人”这个类？人的肉体是人还是人的意识是人？裹在人体皮肤内的是人，那人体的辐射是不是人的一部分？肺里的气体是人的一部分，那皮肤表面的气体是不是人的一部分？因此这个问题实际涉及到非常多的哲学性问题，恕我无法回答，只能从常识上就事论事。1+1=2是数与数的关系，而不涉及到量和类。当你把抽象的1+1=2应用到现实中时，应该增加“量”与“类”的关系。1个苹果+1堆苹果的计算中，“数”与“数”可加，“类”与“类”相同，但“量纲”不同，这不是数学的错，而是你使用数学时违背了数学的前提条件。而你所说的1个苹果加一个地球等于2个东西,则量与类都不同，它就变成了在不同层次上分“类”的问题。如果这个类的精确度满足你的要求,那这个答案就是对的,而如果这个“类”的精确度不能满足你的要求，那结论就不会另你满意.
第三，在微观世界，速度对质量有影响，是一种“量”对另一种“量”有影响，而不是对“数”有影响，因此在微观世界，数仍然是理论上精确的和不被质疑的。
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这是两码事。
数学注重逻辑，是思维科学，不强调其研究对象的现实性差异，而强调的是逻辑严密性。数学对象本身都是从现实生活中抽提出来的抽象东西，属于意识形态领域内的范畴。就像我们可以想象一个绝对真空一样，数学赋予相同符号以相同的数学属性，x就是x，y就是y，等等，他们没有质的区别，至于这两个字符写出来的现实差异，比如时空差异、质地差异等等都不是数学要研究的对象，数学只关心它们所代表的意象之物的数量及位置关系。说句实在话，我们连一个简单的坐标系也不能准确无误地作出来，一旦画线，就已经不准确了，意象中的坐标轴是一条条虚构的直线，我们研究坐标系是将其放在一个理想状态下进行研究的，并非现实地注意其差异，而是深究其中的逻辑合理性。
总之一句话，数学和物理学不同，物理学探究现实事物的物质属性[不同物种的存在形式的差异性以及各物种在微观世界里的统一性等等]，而数学则研究现实事物的数学属性[还记得鸡兔同笼的古算题吗？虽然鸡和兔不同，但二者却都具有可以数数的共性，所以头数可加，腿数也可加，等等]，都是为了更好地认识事物，把握事物的本质。这也就是物理定律与数学定理的区别之所在[前者是实验规律的总结而后者是逻辑推理的结果，前者是会有误差的，后者是天衣无缝的]。
楼主的理解又有点偏了。
1、数学的逻辑严密性造就了数学应用的可靠性；
2、数学的一般性[抽象性]决定了数学的通用性；
数学，也只有数学，才能保证其在任何一门科学领域内具有强大的生命力，是任何一门别的学科都无法比拟的科学体系，数学并没有逃离现实事物，而是从现实事物中人为地抽提出事物所固有的“数学属性”加以分析研究。可以毫不夸张地说：只要存在物质世界，就一定存在其数学属性，就像物质与运动不可分割一样，数学属性也是物质世界的固有属性。试想想如果将各门学科中属于数学的内容全部抽掉，那将会成为什么样子？科学将不复存在！理论数学是基石，应用数学是工具，今天的科学越来越离不开数学了，哪个物理学定律与数学无关呢？至于数学理论的严谨性与现实世界度量上的误差性，那是两码事，如果我们将数学比作加工车床，要想加工出来的零件达到精准程度，车床都不精准能行吗？
但话又说回来，数学并不是完美无缺的，数学的基础部分还存在很多漏洞问题没有解决，兹仅举一例说明之。
点、线、面的逻辑悖论——点就是黑洞！
面是由线构成的，线是由点构成的，所以，面也可以说是由点构成的。
点是没有大小的[不存在面积]，线也是没有大小的[同样不存在面积，但却有了长度]，但它们的集合却是有大小的[有面积]，至于这个集合[面积]中究竟存在多少个/条这样的点/线，却是谁也无法回答的问题。构成线的点有无穷多个，构成不同长度线段的点也有无穷多个[比如1m长的线段上存在无数个点，1nm长的线段上也存在无数个点，真是玄之又玄的点，无中生有的点，既相同又不相同的点！]，似乎存在无数个无穷大。换句话说，就是无穷大也可以比较大小了[∞<∞²<∞³...]，那还能算是无穷大吗？
以上纯属个人之见，不对之处欢迎批评！
数学注重逻辑，是思维科学，不强调其研究对象的现实性差异，而强调的是逻辑严密性。数学对象本身都是从现实生活中抽提出来的抽象东西，属于意识形态领域内的范畴。就像我们可以想象一个绝对真空一样，数学赋予相同符号以相同的数学属性，x就是x，y就是y，等等，他们没有质的区别，至于这两个字符写出来的现实差异，比如时空差异、质地差异等等都不是数学要研究的对象，数学只关心它们所代表的意象之物的数量及位置关系。说句实在话，我们连一个简单的坐标系也不能准确无误地作出来，一旦画线，就已经不准确了，意象中的坐标轴是一条条虚构的直线，我们研究坐标系是将其放在一个理想状态下进行研究的，并非现实地注意其差异，而是深究其中的逻辑合理性。
总之一句话，数学和物理学不同，物理学探究现实事物的物质属性[不同物种的存在形式的差异性以及各物种在微观世界里的统一性等等]，而数学则研究现实事物的数学属性[还记得鸡兔同笼的古算题吗？虽然鸡和兔不同，但二者却都具有可以数数的共性，所以头数可加，腿数也可加，等等]，都是为了更好地认识事物，把握事物的本质。这也就是物理定律与数学定理的区别之所在[前者是实验规律的总结而后者是逻辑推理的结果，前者是会有误差的，后者是天衣无缝的]。
楼主的理解又有点偏了。
1、数学的逻辑严密性造就了数学应用的可靠性；
2、数学的一般性[抽象性]决定了数学的通用性；
数学，也只有数学，才能保证其在任何一门科学领域内具有强大的生命力，是任何一门别的学科都无法比拟的科学体系，数学并没有逃离现实事物，而是从现实事物中人为地抽提出事物所固有的“数学属性”加以分析研究。可以毫不夸张地说：只要存在物质世界，就一定存在其数学属性，就像物质与运动不可分割一样，数学属性也是物质世界的固有属性。试想想如果将各门学科中属于数学的内容全部抽掉，那将会成为什么样子？科学将不复存在！理论数学是基石，应用数学是工具，今天的科学越来越离不开数学了，哪个物理学定律与数学无关呢？至于数学理论的严谨性与现实世界度量上的误差性，那是两码事，如果我们将数学比作加工车床，要想加工出来的零件达到精准程度，车床都不精准能行吗？
但话又说回来，数学并不是完美无缺的，数学的基础部分还存在很多漏洞问题没有解决，兹仅举一例说明之。
点、线、面的逻辑悖论——点就是黑洞！
面是由线构成的，线是由点构成的，所以，面也可以说是由点构成的。
点是没有大小的[不存在面积]，线也是没有大小的[同样不存在面积，但却有了长度]，但它们的集合却是有大小的[有面积]，至于这个集合[面积]中究竟存在多少个/条这样的点/线，却是谁也无法回答的问题。构成线的点有无穷多个，构成不同长度线段的点也有无穷多个[比如1m长的线段上存在无数个点，1nm长的线段上也存在无数个点，真是玄之又玄的点，无中生有的点，既相同又不相同的点！]，似乎存在无数个无穷大。换句话说，就是无穷大也可以比较大小了[∞<∞²<∞³...]，那还能算是无穷大吗？
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你说你补充就补充吧……
可是竟然把原来的补充给弄没了
这下我的有点对着空气挥拳的意思了
不过新的补充比原来强点
但是也还没有本质的区别
对这次补充的回答：
首先 我觉得你好没格调
为了骂人强提大便 并不切合问题实际 小肚鸡肠一个
我再说下你的提到微观世界
首先 你凭什么来提微观？
你了解 见过 清楚世界上最小的物质单位么？
你所知道的微观
也不过是建立在现在的技术之上
你所知道的夸克也不过是现在最小的单位
你又怎么知道没有更小的物质呢？
你说的什么“在计算如此大的物体因为误差的允许可以进行，但在微观世界计算就变得很不可靠了”
请问怎么不可靠了？
难道在进行微观计算时1+1就不等于2了么?
我上次刚刚回答过你关于““一个梨加一堆梨等于什么呢？” 的问题
难道还要我再回答一次“一个原子加一堆原子等于什么呢？”的问题么？
算了
要让我再和上次一样一点点回答 我也没兴致了
打字很累
其他的问题 你该参考孤独的投资者的回答
这次他的回答有一部分整合了我上次提到的观念
我很欣慰 小小得意下
并且他也就你这次提出的问题给出了答案
我不想赘述
只希望你选答案的时候发起投票
——————————————上面是这次的修改—————————————
——————————————下面是保留的原文————————————
你的“结论”怪怪的，竟然用到“是否”两个字？
晕 我想你要表达的是：
“我们学的数学永远只是理论，而不是实际。”吧？
另外写在前头
我的舌头比较锋利哦
你如果因为我的舌头割到你而不给我最佳答案
我会鄙视你的~
要解决你的问题
我们首先有必要了解4个东西
数词 量词 单位 还有就是你研究的事物
首先是数词
这个是最容易理解的
就是我们的数字
1 2 3 4 5 6……
就像楼上说的“是一种抽象出来的”
量词呢？
这可就有意思了
首先看一下量词的定义
http://baike.baidu.com/view/633608.htm
你会发现我们的生活离不开量词
同时你还要发现第二点
（你最好能发现……）
那就是当我们把数学应用到实际中时
数词是离不开量词的
来 跟我复述三遍
数词是离不开量词的
数词是离不开量词的
数词是离不开量词的
所以我们说的“1”代表一个 一堆 一斤 一片 一段 而不是孤零零的“1”
（哦~可爱的量词~你是把数学和实际联系起来的伟大存在~)
接下来是单位
希望你不要在看量词的时候就“单纯的”把“单位”归为“计量名量词”
（老兄你没有那么想吧？哈哈）
为什么我不让你把单位单独归到你量词里呢？
等一下在反驳你的例子时就会解答了
最后就是我们所讨论的事物
也就是反驳你第一个例子的关键
说实在的……
第一个例子简直是废话
“一个苹果加一个地球等于两个东西”
什么啊……
根本就不是同一个事物
你个苹果星人现在搞明白了？
下面说第二个例子
“一个梨加一堆梨等于什么呢？”
恩 这个问题还问的有点水平
不过这里希望你看到
“个”“堆”是不同的量词哦老兄
所以根本不能进行运算
不过我们可以更进一步研究一下你这个问题
如果是“一堆梨”和“一堆梨”比较
每堆都是一个梨+一个梨=两个梨呢？
其中一堆是两个大梨 另一堆确实两个小梨
那么至少在重量上“1+1”已经不等于“1+1”了
呵呵 你别高兴哦 以为你的理论成立么？
这里也就是我要把“单位”不“单纯”当做“计量名量词”来讨论的原因了
你说数学是理论 不是实际
但是你忘了要灵活应用我们所学的知识
按你的需求来决定你要使用的数学逻辑
当你的需求从“数量”演变成“质量”的时候
我们也需要把量词从“个”、“堆”演变成“斤”、“两”
也就是从“X+X”个演变成“X+X”斤
数学依然成立 只是表达的意义要随量词改变
至于从个到斤
数词还是不是1
那就要看那个梨是不是一个一斤了
你说呢？嘿嘿
好了 不逗你了
让我们来看你的第三个问题：
“这样理解就会造成混乱了，怎样区分两个物体是否相同呢？ ”
恩……你为什么吃饭不吃屎呢？
请问你是怎么区分出饭和屎是否相同呢？
好的 回答完毕
下面来看你最后一个问题：
“一个1代表A,另一个1代表B,1=1，所以A=B，A+B=AB的共性称呼*2对吗？当A=1,B=-1时，A+B=0,推出0=两个数？？？”
这个稍微复杂点
不过不是问题本身
而是你那转不过弯的简单头脑让我发愁怎么解释给你听
首先你说“一个1代表A，另一个1代表B”
注意你说的【一个1】
同学 “一个”既有数词又有量词
那么按照逻辑 “一个”后面接的应该是四要素之一的“事物”
可是，你自己也同意“数字1”是抽象的
那么请问你怎么用数字表示数字？
那不就是用一个抽象事物来表现一个抽象事物？
（可笑的是竟然还是这个抽象事物本身……）
本来到这里就可以了
但是为了彻底给你解释清楚
我们只好再看你的荒唐理论
你要用“1”表示“A”和“B”不是么？
发现了么？
这是用一个事物表示两个事物？
1就是1 他不能同时表示两个不同的事物
我们只可以用事物代表数字 但是不可以用数字代表事物
为什么？
因为那不是数学
我们在数学中从来都可以设字母
但是没法设数字
为什么？
因为那不是数学
你的理论是“我们学的数学永远只是理论，而不是实际。”
那么前提就是“我们学的数学”
很抱歉 用抽象的数字1表示字母 也就是表示事物 这不是我们的数学
而是你们苹果星人的数学
但是接下来你说A=1,B=-1
这个确实是我们地球的数学
可惜苹果星和地球的数学体系还没有建立联系 也就是说
还无法通过“所以A=B，A+B=AB的共性称呼*2对吗？”来作为媒介相互转换
也就是说虽然你吃饭可以变成屎 但是吃屎还是屎 变不成饭的
啊 说到这里 还忘了问你弄没弄明白“怎样区分两个物体是否相同呢”
也就是你为什么吃饭不吃屎啊？
唉 地球很危险 回你的苹果星去吧~
可是竟然把原来的补充给弄没了
这下我的有点对着空气挥拳的意思了
不过新的补充比原来强点
但是也还没有本质的区别
对这次补充的回答：
首先 我觉得你好没格调
为了骂人强提大便 并不切合问题实际 小肚鸡肠一个
我再说下你的提到微观世界
首先 你凭什么来提微观？
你了解 见过 清楚世界上最小的物质单位么？
你所知道的微观
也不过是建立在现在的技术之上
你所知道的夸克也不过是现在最小的单位
你又怎么知道没有更小的物质呢？
你说的什么“在计算如此大的物体因为误差的允许可以进行，但在微观世界计算就变得很不可靠了”
请问怎么不可靠了？
难道在进行微观计算时1+1就不等于2了么?
我上次刚刚回答过你关于““一个梨加一堆梨等于什么呢？” 的问题
难道还要我再回答一次“一个原子加一堆原子等于什么呢？”的问题么？
算了
要让我再和上次一样一点点回答 我也没兴致了
打字很累
其他的问题 你该参考孤独的投资者的回答
这次他的回答有一部分整合了我上次提到的观念
我很欣慰 小小得意下
并且他也就你这次提出的问题给出了答案
我不想赘述
只希望你选答案的时候发起投票
——————————————上面是这次的修改—————————————
——————————————下面是保留的原文————————————
你的“结论”怪怪的，竟然用到“是否”两个字？
晕 我想你要表达的是：
“我们学的数学永远只是理论，而不是实际。”吧？
另外写在前头
我的舌头比较锋利哦
你如果因为我的舌头割到你而不给我最佳答案
我会鄙视你的~
要解决你的问题
我们首先有必要了解4个东西
数词 量词 单位 还有就是你研究的事物
首先是数词
这个是最容易理解的
就是我们的数字
1 2 3 4 5 6……
就像楼上说的“是一种抽象出来的”
量词呢？
这可就有意思了
首先看一下量词的定义
http://baike.baidu.com/view/633608.htm
你会发现我们的生活离不开量词
同时你还要发现第二点
（你最好能发现……）
那就是当我们把数学应用到实际中时
数词是离不开量词的
来 跟我复述三遍
数词是离不开量词的
数词是离不开量词的
数词是离不开量词的
所以我们说的“1”代表一个 一堆 一斤 一片 一段 而不是孤零零的“1”
（哦~可爱的量词~你是把数学和实际联系起来的伟大存在~)
接下来是单位
希望你不要在看量词的时候就“单纯的”把“单位”归为“计量名量词”
（老兄你没有那么想吧？哈哈）
为什么我不让你把单位单独归到你量词里呢？
等一下在反驳你的例子时就会解答了
最后就是我们所讨论的事物
也就是反驳你第一个例子的关键
说实在的……
第一个例子简直是废话
“一个苹果加一个地球等于两个东西”
什么啊……
根本就不是同一个事物
你个苹果星人现在搞明白了？
下面说第二个例子
“一个梨加一堆梨等于什么呢？”
恩 这个问题还问的有点水平
不过这里希望你看到
“个”“堆”是不同的量词哦老兄
所以根本不能进行运算
不过我们可以更进一步研究一下你这个问题
如果是“一堆梨”和“一堆梨”比较
每堆都是一个梨+一个梨=两个梨呢？
其中一堆是两个大梨 另一堆确实两个小梨
那么至少在重量上“1+1”已经不等于“1+1”了
呵呵 你别高兴哦 以为你的理论成立么？
这里也就是我要把“单位”不“单纯”当做“计量名量词”来讨论的原因了
你说数学是理论 不是实际
但是你忘了要灵活应用我们所学的知识
按你的需求来决定你要使用的数学逻辑
当你的需求从“数量”演变成“质量”的时候
我们也需要把量词从“个”、“堆”演变成“斤”、“两”
也就是从“X+X”个演变成“X+X”斤
数学依然成立 只是表达的意义要随量词改变
至于从个到斤
数词还是不是1
那就要看那个梨是不是一个一斤了
你说呢？嘿嘿
好了 不逗你了
让我们来看你的第三个问题：
“这样理解就会造成混乱了，怎样区分两个物体是否相同呢？ ”
恩……你为什么吃饭不吃屎呢？
请问你是怎么区分出饭和屎是否相同呢？
好的 回答完毕
下面来看你最后一个问题：
“一个1代表A,另一个1代表B,1=1，所以A=B，A+B=AB的共性称呼*2对吗？当A=1,B=-1时，A+B=0,推出0=两个数？？？”
这个稍微复杂点
不过不是问题本身
而是你那转不过弯的简单头脑让我发愁怎么解释给你听
首先你说“一个1代表A，另一个1代表B”
注意你说的【一个1】
同学 “一个”既有数词又有量词
那么按照逻辑 “一个”后面接的应该是四要素之一的“事物”
可是，你自己也同意“数字1”是抽象的
那么请问你怎么用数字表示数字？
那不就是用一个抽象事物来表现一个抽象事物？
（可笑的是竟然还是这个抽象事物本身……）
本来到这里就可以了
但是为了彻底给你解释清楚
我们只好再看你的荒唐理论
你要用“1”表示“A”和“B”不是么？
发现了么？
这是用一个事物表示两个事物？
1就是1 他不能同时表示两个不同的事物
我们只可以用事物代表数字 但是不可以用数字代表事物
为什么？
因为那不是数学
我们在数学中从来都可以设字母
但是没法设数字
为什么？
因为那不是数学
你的理论是“我们学的数学永远只是理论，而不是实际。”
那么前提就是“我们学的数学”
很抱歉 用抽象的数字1表示字母 也就是表示事物 这不是我们的数学
而是你们苹果星人的数学
但是接下来你说A=1,B=-1
这个确实是我们地球的数学
可惜苹果星和地球的数学体系还没有建立联系 也就是说
还无法通过“所以A=B，A+B=AB的共性称呼*2对吗？”来作为媒介相互转换
也就是说虽然你吃饭可以变成屎 但是吃屎还是屎 变不成饭的
啊 说到这里 还忘了问你弄没弄明白“怎样区分两个物体是否相同呢”
也就是你为什么吃饭不吃屎啊？
唉 地球很危险 回你的苹果星去吧~
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你的问题很白痴，“一位 海盗头目 ”+“一坨大便”=两个东西（如果你承认不是东西则该等式不成立）。鉴定完毕。
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